Smith_chart

スミス図表とは

複素平面上の電圧反射係数

　複素平面上に，電圧反射係数$\Gamma = |\Gamma | e^{j\theta}$（極形式）の$|\Gamma |$一定の円（等反射係数円）， $\theta$一定の直線（等位相角線）を描くと，次の図のようになる．

中心の点：$\Gamma =0$ ゆえ，無反射

単位円上：$|\Gamma |=1$ ゆえ，完全反射

$\Gamma=1$ の点：開放（オープン）

$\Gamma=-1$ の点：短絡（ショート）

　負荷から距離$l$離れた点での反射係数$\Gamma (l)$は，負荷点での反射係数$\Gamma_L$を用いて， \begin{gather} \Gamma (l) = \Gamma _L e^{-j2\beta l} = |\Gamma _L | e^{j(\theta - 2\beta l)} \end{gather} ここで，$\Gamma (l)$の偏角は，$\theta - 2\beta l$である．また$\Gamma (l)$は，$\Gamma_L$の点から時計回りに$2 \beta l$ [rad]回転した点になる．伝送線路の管内波長を$\lambda_g$とすると， \begin{gather} 2 \beta l = 2 \cdot \frac{2\pi}{\lambda_g} \cdot l = 4\pi \frac{l}{\lambda_g} \end{gather}

定在波の最大・最小について

　負荷点から距離 $l$ 離れた点での電圧定在波$V(l)$は， \begin{eqnarray} V(l) &=& V^+ (1+\Gamma (l)) \nonumber \\ &=& V^+ \left( 1 + |\Gamma _L | e^{j(\theta - 2\beta l)} \right) \end{eqnarray} 電圧の最大は，$e^{j(\theta - 2\beta l)}=1$のときで，このときの電圧反射係数および最大値$|V|_{max}$は， \begin{eqnarray} \Gamma \Big|_{V_{max}} &=& |\Gamma _L | e^{j(\theta - 2\beta l)} \Big|_{V_{max}} = |\Gamma _L | \\ |V|_{max} &=& |V^+| \left( 1 + |\Gamma _L | \right) \end{eqnarray} 電圧が最大となる位置での電圧反射係数は正の実数ゆえ，複素平面の正の実軸上にあることがわかる．逆に，電圧の最小は，$e^{j(\theta - 2\beta l)}=-1$のときで，このときの電圧反射係数および最小値$|V|_{min}$は， \begin{eqnarray} \Gamma \Big|_{V_{min}} &=& |\Gamma _L | e^{j(\theta - 2\beta l)} \Big|_{V_{min}} = -|\Gamma _L | \\ |V|_{min} &=& |V^+| \left( 1 - |\Gamma _L | \right) \end{eqnarray} 電圧が最小となる位置での電圧反射係数は負の実数ゆえ，複素平面の負の実軸上にあることがわかる．

規格化入力インピーダンス，規格化入力アドミタンスの図表

　スミス図表（Smith chart）は，電圧反射係数$\Gamma = |\Gamma | e^{j\theta}$（大きさ，位相）を表す複素平面上に，規格化入力インピーダンス$z_{in}$の

実部：規格化抵抗（resistance）

虚部：規格化リアクタンス（reactance）

の目盛を書き込んだものである．同様にして，アドミタンス図表（admittance chart）は，電圧反射係数を表す複素平面であるが，目盛は次の規格化入力アドミタンス$y_{in}$からなる．

実部：規格化コンダクタンス（conductance）

虚部：規格化サセプタンス（susceptance）

定抵抗円と定リアクタンス円

　伝送線路終端に負荷$Z_L$が接続された場合，規格化負荷インピーダンス$z_L$は，負荷点での電圧反射係数$\Gamma _L$を用いて， \begin{gather} \frac{Z_L}{Z_0} = z_L = \frac{1+\Gamma _L}{1-\Gamma _L} \end{gather} 同様にして，特性インピーダンス$Z_0$の伝送線路上のある点における規格化入力インピーダンス$z_{in} (l)$は，その点での電圧反射係数$\Gamma (l)$を用いて， \begin{gather} \frac{Z_{in} (l)}{Z_0} = z_{in} (l) = \frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)} \label{eq:Gammal} \end{gather} 実部，虚部を \begin{align} &z_{in} \equiv r + j x \\ &\Gamma \big( = |\Gamma | e^{j\theta } \big) \equiv u + jv \end{align} とおき（$r$は規格化抵抗，$x$は規格化リアクタンス），式\eqref{eq:Gammal}に代入すると， \begin{eqnarray} r + jx &=& \frac{1+(u+jv)}{1-(u+jv)} \nonumber \\ &=& -1 + \frac{2}{1-(u+jv)} \end{eqnarray} 上式を実部，虚部で整理して， \begin{eqnarray} (r+1) + jx &=& \frac{2}{(1-u)-jv} \nonumber \\ &=& \frac{2\big\{ (1-u) + jv \big\}}{(1-u)^2 + v^2} \label{eq:complex} \end{eqnarray} 式\eqref{eq:complex}の実部を$u$，$v$について整理すると， \begin{align} &r+1 = \frac{2(1-u)}{(1-u)^2 + v^2} \\ &\left( u-\frac{r}{r+1} \right) ^2 + v^2 = \left( \frac{1}{r+1} \right) ^2 \end{align} これは，中心が$u=\frac{r}{r+1}$，$v=0$，半径が$\frac{1}{r+1}$の円を表している．

また，式\eqref{eq:complex}の虚部を同様にして整理すると， \begin{align} &x = \frac{2v}{(1-u)^2 + v^2} \\ &\big( 1-u \big) ^2 + \left( v-\frac{1}{x} \right) ^2 = \left( \frac{1}{x} \right) ^2 \end{align} これは，中心が$u=1$，$v=\frac{1}{x}$，半径が$\frac{1}{|x|}$の円を表している．

スミス図表

　これより，$u-v$面上に，次の２つの円群を描くと次の図のようになる．

両者を重ね合わせて，スミス図表を簡略化して描くと次のようになる．