スミス図表とは

複素平面上の電圧反射係数

　複素平面上に，電圧反射係数

Γ = | Γ | e^{j θ}

（極形式）の

| Γ |

一定の円（等反射係数円），

θ

一定の直線（等位相角線）を描くと，次の図のようになる．

中心の点：

Γ = 0

ゆえ，無反射

単位円上：

| Γ | = 1

ゆえ，完全反射

Γ = 1

の点：開放（オープン）

Γ = - 1

の点：短絡（ショート）

　負荷から距離

l

離れた点での反射係数

Γ (l)

は，負荷点での反射係数

Γ_{L}

を用いて，

\begin{matrix} (1) & Γ (l) = Γ_{L} e^{- j 2 β l} = | Γ_{L} | e^{j (θ - 2 β l)} \end{matrix}

ここで，

Γ (l)

の偏角は，

θ - 2 β l

である．また

Γ (l)

は，

Γ_{L}

の点から時計回りに

2 β l

[rad]回転した点になる．伝送線路の管内波長を

λ_{g}

とすると，

\begin{matrix} (2) & 2 β l = 2 \cdot \frac{2 π}{λ_{g}} \cdot l = 4 π \frac{l}{λ_{g}} \end{matrix}

定在波の最大・最小について

　負荷点から距離

l

離れた点での電圧定在波

V (l)

は，

\begin{array}{rcl} V (l) & = & V^{+} (1 + Γ (l)) \\ (3) & = & V^{+} (1 + | Γ_{L} | e^{j (θ - 2 β l)}) \end{array}

電圧の最大は，

e^{j (θ - 2 β l)} = 1

のときで，このときの電圧反射係数および最大値

| V |_{m a x}

は，

\begin{array}{rcl} (4) & Γ |_{V_{m a x}} & = & | Γ_{L} | e^{j (θ - 2 β l)} |_{V_{m a x}} = | Γ_{L} | \\ (5) & | V |_{m a x} & = & | V^{+} | (1 + | Γ_{L} |) \end{array}

電圧が最大となる位置での電圧反射係数は正の実数ゆえ，複素平面の正の実軸上にあることがわかる．逆に，電圧の最小は，

e^{j (θ - 2 β l)} = - 1

のときで，このときの電圧反射係数および最小値

| V |_{m i n}

は，

\begin{array}{rcl} (6) & Γ |_{V_{m i n}} & = & | Γ_{L} | e^{j (θ - 2 β l)} |_{V_{m i n}} = - | Γ_{L} | \\ (7) & | V |_{m i n} & = & | V^{+} | (1 - | Γ_{L} |) \end{array}

電圧が最小となる位置での電圧反射係数は負の実数ゆえ，複素平面の負の実軸上にあることがわかる．

規格化入力インピーダンス，規格化入力アドミタンスの図表

　スミス図表（Smith chart）は，電圧反射係数

Γ = | Γ | e^{j θ}

（大きさ，位相）を表す複素平面上に，規格化入力インピーダンス

z_{i n}

の

実部：規格化抵抗（resistance）
虚部：規格化リアクタンス（reactance）

の目盛を書き込んだものである．同様にして，アドミタンス図表（admittance chart）は，電圧反射係数を表す複素平面であるが，目盛は次の規格化入力アドミタンス

y_{i n}

からなる．

実部：規格化コンダクタンス（conductance）
虚部：規格化サセプタンス（susceptance）

定抵抗円と定リアクタンス円

　伝送線路終端に負荷

Z_{L}

が接続された場合，規格化負荷インピーダンス

z_{L}

は，負荷点での電圧反射係数

Γ_{L}

を用いて，

\begin{matrix} (8) & \frac{Z_{L}}{Z_{0}} = z_{L} = \frac{1 + Γ_{L}}{1 - Γ_{L}} \end{matrix}

同様にして，特性インピーダンス

Z_{0}

の伝送線路上のある点における規格化入力インピーダンス

z_{i n} (l)

は，その点での電圧反射係数

Γ (l)

を用いて，

\begin{matrix} (9) & \frac{Z_{i n} (l)}{Z_{0}} = z_{i n} (l) = \frac{1 + Γ (l)}{1 - Γ (l)} \end{matrix}

実部，虚部を

\begin{aligned} (10) & z_{i n} \equiv r + j x \\ (11) & Γ (= | Γ | e^{j θ}) \equiv u + j v \end{aligned}

とおき（

r

は規格化抵抗，

x

は規格化リアクタンス），式

(9)

に代入すると，

\begin{array}{rcl} r + j x & = & \frac{1 + (u + j v)}{1 - (u + j v)} \\ (12) & = & - 1 + \frac{2}{1 - (u + j v)} \end{array}

上式を実部，虚部で整理して，

\begin{array}{rcl} (r + 1) + j x & = & \frac{2}{(1 - u) - j v} \\ (13) & = & \frac{2 {(1 - u) + j v}}{(1 - u)^{2} + v^{2}} \end{array}

式

(13)

の実部を

u

，

v

について整理すると，

\begin{aligned} (14) & r + 1 = \frac{2 (1 - u)}{(1 - u)^{2} + v^{2}} \\ (15) & {(u - \frac{r}{r + 1})}^{2} + v^{2} = {(\frac{1}{r + 1})}^{2} \end{aligned}

これは，中心が

u = \frac{r}{r + 1}

，

v = 0

，半径が

\frac{1}{r + 1}

の円を表している．

また，式

(13)

の虚部を同様にして整理すると，

\begin{aligned} (16) & x = \frac{2 v}{(1 - u)^{2} + v^{2}} \\ (17) & (1 - u)^{2} + {(v - \frac{1}{x})}^{2} = {(\frac{1}{x})}^{2} \end{aligned}

これは，中心が

u = 1

，

v = \frac{1}{x}

，半径が

\frac{1}{| x |}

の円を表している．

スミス図表

　これより，

u - v

面上に，次の２つの円群を描くと次の図のようになる．

両者を重ね合わせて，スミス図表を簡略化して描くと次のようになる．