8.3 ラゲルの多項式
ラゲルの多項式（the Laguerre polynomials）$y = L_{n,l} (x)$は，次のラゲルの微分方程式を満足する．
\begin{gather}
xy'' +(l+1-x)y' + ny = 0
\end{gather}
ロドリゲス表示（Rodrigues's Formula）で示すと次のようになる．
\begin{gather}
L_{n,l} (x) = \frac{e^x x^{-l}}{n !} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x} x^{n+l})
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
L_{n,l} (x) = \sum _{i=0}^n
{n+l \choose n-i} \frac{(-x)^i}{i!} \ \ \ \ \ (l > -1)
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
{n+l \choose n-i}
&=& _{n+l} C_{n-i}
= \frac{(n+l) !}{(n-i) ! \{ (n+l)-(n-i)\} ! }
\nonumber \\
&=& \frac{(n+l) !}{(n-i) ! (l+i) ! }
\end{eqnarray}
なお，
$_n C_k$は，
\begin{eqnarray}
_n C_k
&=& {n \choose k}
= \frac{n (n-1) \cdot \cdot \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \cdot \cdot k}
\nonumber \\
&=& \frac{n !}{k ! (n-k) ! }
\end{eqnarray}
ラゲルの多項式の低次の式を考えると，$n=0$ のとき，
\begin{gather}
L_{0,l}(x) = 1
\end{gather}
より，
\begin{gather}
L_{0,0}(x) = L_{0,1}(x) = L_{0,2}(x) = \cdots = 1
\end{gather}
$n=1$ のとき，
\begin{gather}
L_{1,l}(x) = (1+l) -x
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
L_{1,0}(x) &=& 1-x
\\
L_{1,1}(x) &=& 2-x
\\
L_{1,2}(x) &=& 3-x
\end{eqnarray}
$n=2$ のとき，
\begin{gather}
L_{2,l}(x) = \frac{(2+l)(1+l)}{2} -(2+l)x + \frac{x^2}{2}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
L_{2,0}(x) &=& 1-2x+\frac{x^2}{2}
\\
L_{2,1}(x) &=& 3-3x+\frac{x^2}{2}
\\
L_{2,2}(x) &=& 6-4x+\frac{x^2}{2}
\end{eqnarray}
関数$L_{n,l} (x)$は，
$[0, \infty]$において重み係数$e^{-x} x^l$を用いれば次のような直交性をもつ．
\begin{gather}
\int _{0}^{\infty} e^{-x} x^l L_{n,l} (x) L_{n',l} (x) dx
= \frac{(n+l) !}{n !} \delta _{n,n'} \label{eq:orth}
\end{gather}
密度関数$e^{-x} x^l$より直交関数系は，
\begin{gather}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{l}{2}} L_{n,l} (x)
\label{eq:wLaguerre}
\end{gather}
さらに，式\eqref{eq:orth}の直交性より正規直交系は，
\begin{gather}
\sqrt{\frac{n !}{(n+l) !}} \ e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{l}{2}} L_{n,l} (x)
\end{gather}
$x \equiv X^2 \equiv (\gamma / \gamma _0)^2 $とおいて変数変換すると，
$dx = 2X dX$より，
\begin{align}
&\int _{0}^{\infty} e^{-X^2} (X^2)^l L_{n,l} (X^2) L_{n',l} (X^2) 2X dX
\nonumber \\
&= \int _{0}^{\infty} e^{-\frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2}}
\left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right) ^{l+\frac{1}{2} }
L_{n,l} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
L_{n',l} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
d \left( \frac{\gamma }{\gamma _0 } \right)
\nonumber \\
&= \frac{(n+l) !}{2n !} \delta _{n,n'}
\end{align}