ラゲルの多項式
ラゲルの多項式（the Laguerre polynomials）
y
=
L
n
,
l
(
x
)
は，次のラゲルの微分方程式を満足する．
(1)
x
y
″
+
(
l
+
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
ロドリゲス表示（Rodrigues's Formula）で示すと次のようになる．
(2)
L
n
,
l
(
x
)
=
e
x
x
−
l
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
+
l
)
これより，
(3)
L
n
,
l
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
n
+
l
n
−
i
)
(
−
x
)
i
i
!
(
l
>
−
1
)
ここで，
(
n
+
l
n
−
i
)
=
n
+
l
C
n
−
i
=
(
n
+
l
)
!
(
n
−
i
)
!
{
(
n
+
l
)
−
(
n
−
i
)
}
!
(4)
=
(
n
+
l
)
!
(
n
−
i
)
!
(
l
+
i
)
!
なお，
n
C
k
は，
n
C
k
=
(
n
k
)
=
n
(
n
−
1
)
⋅
⋅
⋅
(
n
−
k
+
1
)
1
⋅
2
⋅
⋅
⋅
k
(5)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
ラゲルの多項式の低次の式を考えると，
n
=
0
のとき，
(6)
L
0
,
l
(
x
)
=
1
より，
(7)
L
0
,
0
(
x
)
=
L
0
,
1
(
x
)
=
L
0
,
2
(
x
)
=
⋯
=
1
n
=
1
のとき，
(8)
L
1
,
l
(
x
)
=
(
1
+
l
)
−
x
より，
(9)
L
1
,
0
(
x
)
=
1
−
x
(10)
L
1
,
1
(
x
)
=
2
−
x
(11)
L
1
,
2
(
x
)
=
3
−
x
n
=
2
のとき，
(12)
L
2
,
l
(
x
)
=
(
2
+
l
)
(
1
+
l
)
2
−
(
2
+
l
)
x
+
x
2
2
より，
(13)
L
2
,
0
(
x
)
=
1
−
2
x
+
x
2
2
(14)
L
2
,
1
(
x
)
=
3
−
3
x
+
x
2
2
(15)
L
2
,
2
(
x
)
=
6
−
4
x
+
x
2
2
関数
L
n
,
l
(
x
)
は，
[
0
,
∞
]
において重み係数
e
−
x
x
l
を用いれば次のような直交性をもつ．
(16)
∫
0
∞
e
−
x
x
l
L
n
,
l
(
x
)
L
n
′
,
l
(
x
)
d
x
=
(
n
+
l
)
!
n
!
δ
n
,
n
′
密度関数
e
−
x
x
l
より直交関数系は，
(17)
e
−
x
2
x
l
2
L
n
,
l
(
x
)
さらに，式
(16)
の直交性より正規直交系は，
(18)
n
!
(
n
+
l
)
!
e
−
x
2
x
l
2
L
n
,
l
(
x
)
x
≡
X
2
≡
(
γ
/
γ
0
)
2
とおいて変数変換すると，
d
x
=
2
X
d
X
より，
∫
0
∞
e
−
X
2
(
X
2
)
l
L
n
,
l
(
X
2
)
L
n
′
,
l
(
X
2
)
2
X
d
X
=
∫
0
∞
e
−
γ
2
γ
0
2
(
γ
2
γ
0
2
)
l
+
1
2
L
n
,
l
(
γ
2
γ
0
2
)
L
n
′
,
l
(
γ
2
γ
0
2
)
d
(
γ
γ
0
)
(19)
=
(
n
+
l
)
!
2
n
!
δ
n
,
n
′
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