点波源アレーの最大利得

7.9　点波源アレーの最大利得

エルミート形式の放射電力

　スカラ波動方程式（scalar wave equation）を考えると，放射電力はエルミート形式（Hermitian form）となる．これを説明するため，波源を

ρ

として，次のヘルムホルツ方程式（Helmholtz equation）を満たす仮想的なスカラーフィールド（scalar field）

ψ

を考える．

\begin{matrix} (1) & (\nabla^{2} + k^{2}) ψ = \frac{4 π}{j k} ρ \end{matrix}

ただし，

k (= 2 π / λ)

は波数を示す．境界条件（boundary condition）として，無限遠での放射条件（radiation condition at infinity）を用いると，よく知られた次の積分が得られる．

\begin{matrix} (2) & ψ = ∭ ρ \frac{e^{- j k R}}{- j k R} d τ \equiv L ρ \end{matrix}

ただし，

R

は波源の点からフィールドの観測点までの距離，

L

は作用素を示す．波源によって放射された電力

P

は，次のようになることが知られている．

\begin{array}{rcl} P & = & ℜ (∭ ρ^{*} ψ d τ) \\ = & ℜ ⟨ ρ^{*}, ψ ⟩ \\ = & ℜ ⟨ ρ^{*}, L ρ ⟩ \\ (3) & = & \frac{1}{2} (⟨ ρ^{*}, L ρ ⟩ + ⟨ ρ, L^{*} ρ^{*} ⟩) \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} ⟨ L f, g ⟩ & = & ⟨ g, L f ⟩ \\ = & ∭_{τ} g (τ) (∭_{τ^{'}} f (τ^{'}) \frac{e^{- j k R}}{- j k R} d τ^{'}) d τ \\ = & ∭_{τ^{'}} f (τ^{'}) (∭_{τ} g (τ) \frac{e^{- j k R}}{- j k R} d τ) d τ^{'} \\ (4) & = & ⟨ f, L g ⟩ \end{array}

より，

L

は自己共役 (self-adjoint)である．作用素

L

について，

⟨ L f, g ⟩ = ⟨ f, L g ⟩

であれば，

L

は自己共役 (self-adjoint) であるという．同様にして，

\begin{matrix} (5) & ⟨ L^{*} f, g ⟩ = ⟨ f, L^{*} g ⟩ \end{matrix}

が成り立ち，

L^{*}

も自己共役である．よって，

\begin{aligned} (6) & ⟨ L ρ, ρ^{*} ⟩ = ⟨ ρ, L ρ^{*} ⟩ \\ (7) & ⟨ L^{*} ρ, ρ^{*} ⟩ = ⟨ ρ, L^{*} ρ^{*} ⟩ \end{aligned}

これより，放射電力（radiated power）

P

は次のようにエルミート形式（Hermitian form）となる．

\begin{array}{rcl} P & = & \frac{1}{2} (⟨ ρ^{*}, L ρ ⟩ + ⟨ ρ^{*}, L^{*} ρ ⟩) \\ = & \frac{1}{2} ⟨ ρ^{*}, (L + L^{*}) ρ ⟩ \\ = & ⟨ ρ^{*}, (ℜ L) ρ ⟩ \\ = & ⟨ ρ, (ℜ L) ρ^{*} ⟩ \\ = & (⟨ ρ^{*}, (ℜ L) ρ ⟩)^{*} \\ (8) & = & P^{*} \end{array}

ただし，(

ℜ L

)は作用素（operator）であり，次式となる．

\begin{array}{rcl} (ℜ L) ρ & = & \frac{1}{2} (L + L^{*}) ρ \\ (9) & = & ∭ ρ \frac{\sin k R}{k R} d τ \end{array}

放射電力は正ゆえ，(

ℜ L

)は正値作用素 (positive definite operator) である．

アレーアンテナの遠方界

　スカラ・ヘルムホルツ方程式（scalar Helmholtz equation）を満足するスカラフィールド（scalar field）

ψ

として，点波源からなる

N

素子アレーを考える．

I_{1}, I_{2}, \dots, I_{N}

を点波源の複素励振（complex excitation）の係数，

r_{1}, r_{2}, \dots, r_{N}

をアレー素子の位置ベクトルとする．アレーによるフィールドを求める点（観測点）の位置ベクトルを

r_{0}

とすると，この点でのアレーによるフィールドは，

I_{n}

を係数として式(

2

)を重ね合わせれば求めることができる．

　いま，波源

ρ

は点波源ゆえ，インパルス波源（impulsive sources）の和として扱えばよいので，次のようにクロネッカのデルタ記号

δ (r - r_{n})

を用いて計算すると，

\begin{array}{rcl} ψ & = & L ρ \\ = & L {\sum_{n = 1}^{N} I_{n} δ (r - r_{n})} \\ = & ∭ {\sum_{n = 1}^{N} I_{n} δ (r - r_{n})} \frac{e^{- j k | r_{0} - r |}}{- j k | r_{0} - r |} d τ \\ = & \sum_{n = 1}^{N} I_{n} ∭ δ (r - r_{n}) \frac{e^{- j k | r_{0} - r |}}{- j k | r_{0} - r |} d τ \\ (10) & = & \sum_{n = 1}^{N} I_{n} \frac{e^{- j k | r_{0} - r_{n} |}}{- j k | r_{0} - r_{n} |} \end{array}

実部は，

\begin{matrix} (11) & ℜ (ψ) = \sum_{n = 1}^{N} I_{n} \frac{\sin k | r_{0} - r_{n} |}{k | r_{0} - r_{n} |} \end{matrix}

観測点

r_{0}

が十分遠方の場合（全ての

r_{n}

より十分大きい），

\begin{array}{rcl} | r_{0} - r_{n} | & = & \sqrt{(r_{0} - r_{n}) (r_{0} - r_{n})} \\ = & \sqrt{r_{0}^{2} - 2 r_{0} \cdot r_{n} + r_{n}^{2}} \\ = & r_{0} {(1 - 2 \frac{r_{0} \cdot r_{n}}{r_{0}^{2}} + \frac{r_{n}^{2}}{r_{0}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \\ (12) & ≃ & r_{0} (1 - \frac{r_{0} \cdot r_{n}}{r_{0}^{2}}) \end{array}

位置ベクトル

r_{0}

と

r_{n}

とのなす角を

ζ_{n}

とおき，

\begin{matrix} (13) & r_{0} \cdot r_{n} = r_{0} r_{n} \cos ζ_{n} \end{matrix}

これより，

\begin{array}{rcl} | r_{0} - r_{n} | & ≃ & r_{0} (1 - \frac{r_{0} r_{n} \cos ζ_{n}}{r_{0}^{2}}) \\ (14) & = & r_{0} - r_{n} \cos ζ_{n} (≃ r_{0}) \end{array}

よって，

\begin{matrix} (15) & e^{- j k | r_{0} - r_{n} |} ≃ e^{- j k r_{0}} e^{j k r_{n} \cos ζ_{n}} \end{matrix}

したがって，遠方界表示（far-field expression）は次のようになる．

\begin{array}{rcl} ψ & = & \sum_{n = 1}^{N} I_{n} \frac{e^{- j k | r_{0} - r_{n} |}}{- j k | r_{0} - r_{n} |} \\ (16) & ≃ & \frac{e^{- j k r_{0}}}{- j k r_{0}} \sum_{n = 1}^{N} I_{n} e^{j k r_{n} \cos ζ_{n}} \end{array}

放射電力

P

は式

(8)

によって与えられ，点波源の場合，次のようになる．

\begin{array}{rcl} P & = & ⟨ \sum_{m = 1}^{N} I_{m}^{*} δ (r - r_{m}), \sum_{n = 1}^{N} I_{n} \frac{\sin k | r - r_{n} |}{k | r - r_{n} |} ⟩ \\ = & ∭ \sum_{m = 1}^{N} I_{m}^{*} δ (r - r_{m}) \sum_{n = 1}^{N} I_{n} \frac{\sin k | r - r_{n} |}{k | r - r_{n} |} d τ \\ (17) & = & \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} I_{m}^{*} I_{n} \frac{\sin k | r_{m} - r_{n} |}{k | r_{m} - r_{n} |} \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (18) & B_{m n} \equiv \frac{\sin k | r_{m} - r_{n} |}{k | r_{m} - r_{n} |} \end{matrix}

とおくと，

B_{m n} = B_{n m}^{*}

ゆえ，

[B]

はエルミート行列（Hermitian matrix）である．また，

P

は，

\begin{array}{rcl} P & = & \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} I_{m}^{*} I_{n} B_{m n} \\ = & (I_{1}^{*} I_{2}^{*} \dots I_{N}^{*}) (\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 N} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{N 1} & B_{N 2} & \dots & B_{N N} \end{array}) (\begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ ⋮ \\ I_{N} \end{array}) \\ = & I_{T}^{*} [B] I \\ = & I_{T}^{*} [B]_{T}^{*} I \\ = & I_{T} [B]^{*} I^{*} \\ = & (I_{T}^{*} [B] I)^{*} \\ (19) & = & P^{*} \end{array}

よって，

P

はエルミート2次形式（Hermitian quadratic form）である．

放射強度

　単位立体角当たりの電力密度（power density per unit solid angle）を放射強度（radiation intensity）という．スカラ関数

ψ

より放射強度

P_{r}

は，

\begin{matrix} (20) & P_{r} = \frac{1}{4 π} | k r_{0} ψ |^{2} \end{matrix}

式

(16)

より，

\begin{array}{rcl} P_{r} & = & \frac{1}{4 π} {| k r_{0} \frac{e^{- j k r_{0}}}{- j k r_{0}} \sum_{n = 1}^{N} I_{n} e^{j k r_{n} \cos ζ_{n}} |}^{2} \\ (21) & = & \frac{1}{4 π} {| \sum_{n = 1}^{N} I_{n} e^{j k r_{n} \cos ζ_{n}} |}^{2} \end{array}

行列表示に変形して，

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} I_{n} e^{j k r_{n} \cos ζ_{n}} \\ = (e^{j k r_{1} \cos ζ_{1}} e^{j k r_{2} \cos ζ_{2}} \dots e^{j k r_{N} \cos ζ_{N}}) (\begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ ⋮ \\ I_{N} \end{array}) \\ (22) & = χ_{T}^{*} I \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (23) & χ_{T}^{*} \equiv (e^{j k r_{1} \cos ζ_{1}} e^{j k r_{2} \cos ζ_{2}} \dots e^{j k r_{N} \cos ζ_{N}}) \end{matrix}

これより，

\begin{array}{rcl} P_{r} & = & \frac{1}{4 π} | χ_{T}^{*} I |^{2} \\ = & \frac{1}{4 π} (χ_{T}^{*} I)^{*} (χ_{T}^{*} I) \\ = & \frac{1}{4 π} I_{T}^{*} χ χ_{T}^{*} I \\ (24) & = & \frac{1}{4 π} I_{T}^{*} [A] I \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (25) & [A] \equiv χ χ_{T}^{*} \equiv (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 N} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{N 1} & A_{N 2} & \dots & A_{N N} \end{matrix}) \end{matrix}

正方行列（square matrix）

[A]

の行列要素

A_{m n}

は，

\begin{matrix} (26) & A_{m n} = e^{j k (r_{n} \cos ζ_{n} - r_{m} \cos ζ_{m})} \end{matrix}

したがって，放射強度

P_{r}

は，

\begin{array}{rcl} P_{r} & = & \frac{1}{4 π} \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} I_{m}^{*} I_{n} A_{m n} \\ (27) & = & \frac{1}{4 π} \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} I_{m}^{*} I_{n} e^{j k (r_{n} \cos ζ_{n} - r_{m} \cos ζ_{m})} \end{array}

アンテナ利得

　アンテナ利得（antenna gain）

G

は，

\begin{matrix} (28) & G = \frac{4 π P_{r}}{P} = \frac{I_{T}^{*} [A] I}{I_{T}^{*} [B] I} \end{matrix}

極値条件より，最大利得は次式の固有値の最大値

G

となる．

\begin{matrix} (29) & [A] I = G [B] I \end{matrix}

先に示したように，

[A] = χ χ_{T}^{*}

のケースより，

\begin{matrix} (30) & χ χ_{T}^{*} I = G [B] I \end{matrix}

この固有値もまたゼロではなく，最大利得

G_{m a x}

は，

\begin{matrix} (31) & G_{m a x} = \frac{I_{T}^{(m) *} χ χ_{T}^{*} I^{(m)}}{I_{T}^{(m) *} [B] I^{(m)}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (32) & C = \frac{I_{T}^{(m) *} χ}{I_{T}^{(m) *} [B] I^{(m)}} \end{matrix}

とおくと，

\begin{matrix} I_{T}^{(m) *} [B] I^{(m)} = \frac{I_{T}^{(m) *} χ}{C} \\ [B] I^{(m)} = \frac{χ}{C} \\ (33) & I^{(m)} = [B]^{- 1} \frac{χ}{C} \end{matrix}

これより，

G_{m a x}

は，

\begin{array}{rcl} G_{m a x} & = & C χ_{T}^{*} I^{(m)} \\ = & C χ_{T}^{*} [B]^{- 1} \frac{χ}{C} \\ (34) & = & χ_{T}^{*} [B]^{- 1} χ \end{array}

行列形式で表すと，

\begin{aligned} G_{m a x} = (e^{j k r_{1} \cos ζ_{1}} e^{j k r_{2} \cos ζ_{2}} \dots e^{j k r_{N} \cos ζ_{N}}) \\ (35) & \cdot {(\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 N} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{N 1} & B_{N 2} & \dots & B_{N N} \end{array})}^{- 1} (\begin{array}{c} e^{- j k r_{1} \cos ζ_{1}} \\ e^{- j k r_{2} \cos ζ_{2}} \\ ⋮ \\ e^{- j k r_{N} \cos ζ_{N}} \end{array}) \end{aligned}

このような最大利得について，これまで，ブロードサイド・リニアアレー，エンドファイアーアレー，円形アレーについて適用されている．

7.9 点波源アレーの最大利得

エルミート形式の放射電力

アレーアンテナの遠方界

放射強度

アンテナ利得

7.9　点波源アレーの最大利得