7.9 点波源アレーの最大利得
エルミート形式の放射電力
スカラ波動方程式（scalar wave equation）を考えると，放射電力はエルミート形式（Hermitian form）となる．
これを説明するため，波源を
$\rho$
として，次のヘルムホルツ方程式（Helmholtz equation）を満たす仮想的なスカラーフィールド（scalar field）$\psi$を考える．
\begin{gather}
\left( \nabla^2 + k^2 \right) \psi = \frac{4\pi}{jk} \rho
\label{eq:MoM-10-11}
\end{gather}
ただし，$k(=2\pi/\lambda)$は波数を示す．境界条件（boundary condition）として，無限遠での放射条件（radiation condition at infinity）を用いると，よく知られた次の積分が得られる．
\begin{gather}
\psi = \iiint \rho \frac{e^{-jkR}}{-jkR} d\tau \equiv L\rho
\label{eq:MoM-10-12}
\end{gather}
ただし，$R$は波源の点からフィールドの観測点までの距離，
$L$
は作用素を示す．波源によって放射された電力$P$は，次のようになることが知られている．
\begin{eqnarray}
P &=& \Re \left( \iiint \rho^* \psi d\tau \right)
\nonumber \\
&=& \Re \langle \rho^*, \psi \rangle
\nonumber \\
&=& \Re \langle \rho^*, L\rho \rangle
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \big( \langle \rho^*, L\rho \rangle
+ \langle \rho, L^*\rho^* \rangle \big)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\langle L f, g \rangle
&=& \langle g, L f \rangle
\nonumber \\
&=& \iiint_\tau g(\tau) \left( \iiint_{\tau'} f(\tau') \frac{e^{-jkR}}{-jkR}
d\tau' \right) d\tau
\nonumber \\
&=& \iiint_{\tau'} f(\tau') \left( \iiint_{\tau} g(\tau) \frac{e^{-jkR}}{-jkR}
d\tau \right) d\tau'
\nonumber \\
&=& \langle f, L g \rangle
\end{eqnarray}
より，$L$は自己共役 (self-adjoint)である．作用素
$L$
について，
$\langle Lf,g \rangle = \langle f,Lg \rangle$
であれば，
$L$
は自己共役 (self-adjoint) であるという．
同様にして，
\begin{gather}
\langle L^* f, g \rangle = \langle f, L^* g \rangle
\end{gather}
が成り立ち，$L^*$も自己共役である．よって，
\begin{align}
&\langle L \rho, \rho^* \rangle = \langle \rho, L \rho^* \rangle
\\
&\langle L^* \rho, \rho^* \rangle = \langle \rho, L^* \rho^* \rangle
\end{align}
これより，放射電力（radiated power）$P$は次のようにエルミート形式（Hermitian form）となる．
\begin{eqnarray}
P
&=& \frac{1}{2} \big( \langle \rho^*, L\rho \rangle
+ \langle \rho^*, L^*\rho \rangle \big)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \langle \rho^*, (L+L^*)\rho \rangle
\nonumber \\
&=& \langle \rho^*, (\Re \ L)\rho \rangle
\nonumber \\
&=& \langle \rho, (\Re \ L)\rho^* \rangle
\nonumber \\
&=& \Big( \langle \rho^*, (\Re \ L)\rho \rangle \Big)^*
\nonumber \\
&=& P^*
\label{eq:MoM-10-15}
\end{eqnarray}
ただし，($\Re \ L$)は作用素（operator）であり，次式となる．
\begin{eqnarray}
(\Re \ L)\rho
&=& \frac{1}{2} (L+L^*) \rho
\nonumber \\
&=& \iiint \rho \frac{\sin kR}{kR} d\tau
\label{eq:MoM-10-16}
\end{eqnarray}
放射電力は正ゆえ，($\Re \ L$)は正値作用素 (positive definite operator) である．
アレーアンテナの遠方界
スカラ・ヘルムホルツ方程式（scalar Helmholtz equation）を満足するスカラフィールド（scalar field）
$\psi$
として，点波源からなる$N$素子アレーを考える．
$I_1, I_2, \cdots, I_N$
を点波源の複素励振（complex excitation）の係数，
$\VEC{r}_1, \VEC{r}_2, \cdots, \VEC{r}_N$
をアレー素子の位置ベクトルとする．
アレーによるフィールドを求める点（観測点）の位置ベクトルを
$\VEC{r}_0$
とすると，この点でのアレーによるフィールドは，
$I_n$を係数として式(\ref{eq:MoM-10-12})を重ね合わせれば求めることができる．
いま，波源$\rho$は点波源ゆえ，インパルス波源（impulsive sources）の和として扱えばよいので，
次のようにクロネッカのデルタ記号$\delta(\VEC{r}-\VEC{r}_n)$を用いて計算すると，
\begin{eqnarray}
\psi
&=& L\rho
\nonumber \\
&=& L \left\{ \sum_{n=1}^N I_n \delta(\VEC{r}-\VEC{r}_n) \right\}
\nonumber \\
&=& \iiint \left\{ \sum_{n=1}^N I_n \delta(\VEC{r}-\VEC{r}_n) \right\}
\frac{e^{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}|}}{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}|} d\tau
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N I_n \iiint \delta(\VEC{r}-\VEC{r}_n)
\frac{e^{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}|}}{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}|} d\tau
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N I_n \frac{e^{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}}{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}
\label{eq:MoM-10-50}
\end{eqnarray}
実部は，
\begin{gather}
\Re \ (\psi )
= \sum_{n=1}^N I_n \frac{\sin k|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}{k|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}
\end{gather}
観測点$\VEC{r}_0$が十分遠方の場合（全ての$r_n$より十分大きい），
\begin{eqnarray}
\big| \VEC{r}_0-\VEC{r}_n \big|
&=& \sqrt{ (\VEC{r}_0-\VEC{r}_n)(\VEC{r}_0-\VEC{r}_n) }
\nonumber \\
&=& \sqrt{ r_0^2 -2\VEC{r}_0 \cdot \VEC{r}_n + r_n^2 }
\nonumber \\
&=& r_0 \left( 1-2\frac{\VEC{r}_0 \cdot \VEC{r}_n}{r_0^2} + \frac{r_n^2}{r_0^2}
\right) ^{\frac{1}{2}}
\nonumber \\
&\simeq& r_0 \left( 1-\frac{\VEC{r}_0 \cdot \VEC{r}_n}{r_0^2} \right)
\end{eqnarray}
位置ベクトル
$\VEC{r}_0$
と
$\VEC{r}_n$
とのなす角を
$\zeta_n$
とおき，
\begin{gather}
\VEC{r}_0 \cdot \VEC{r}_n = r_0 r_n \cos \zeta _n
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\big| \VEC{r}_0-\VEC{r}_n \big|
&\simeq& r_0 \left( 1-\frac{r_0 r_n \cos \zeta _n}{r_0^2} \right)
\nonumber \\
&=& r_0 - r_n \cos \zeta _n (\simeq r_0)
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
e^{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}
\simeq e^{-jkr_0} e^{jkr_n \cos \zeta _n}
\end{gather}
したがって，遠方界表示（far-field expression）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\psi
&=& \sum_{n=1}^N I_n \frac{e^{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}}{-jk|\VEC{r}_0 - \VEC{r}_n|}
\nonumber \\
&\simeq& \frac{e^{-jkr_0}}{-jkr_0} \sum_{n=1}^N I_n e^{jkr_n \cos \zeta _n}
\label{eq:MoM-10-51}
\end{eqnarray}
放射電力$P$は式\eqref{eq:MoM-10-15}によって与えられ，点波源の場合，次のようになる．
\begin{eqnarray}
P
&=& \langle \sum_{m=1}^N I_m^* \delta(\VEC{r}-\VEC{r}_m),
\sum_{n=1}^N I_n \frac{\sin k|\VEC{r} - \VEC{r}_n|}{k|\VEC{r} - \VEC{r}_n|} \rangle
\nonumber \\
&=& \iiint \sum_{m=1}^N I_m^* \delta(\VEC{r}-\VEC{r}_m)
\sum_{n=1}^N I_n \frac{\sin k|\VEC{r} - \VEC{r}_n|}{k|\VEC{r} - \VEC{r}_n|} d\tau
\nonumber \\
&=& \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N I_m^* I_n
\frac{\sin k |\VEC{r}_m - \VEC{r}_n|}{k|\VEC{r}_m - \VEC{r}_n|}
\label{eq:MoM-10-52}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
B_{mn} \equiv \frac{\sin k |\VEC{r}_m - \VEC{r}_n|}{k|\VEC{r}_m - \VEC{r}_n|}
\end{gather}
とおくと，
$B_{mn} = B_{nm}^*$
ゆえ，
$[B]$
はエルミート行列（Hermitian matrix）である．また，
$P$
は，
\begin{eqnarray}
P &=& \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N I_m^* I_n B_{mn}
\nonumber \\
&=& \Big( I_1^* \ \ I_2^* \ \ \cdots \ \ I_N^* \Big)
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1N} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{N1} & B_{N2} & \cdots & B_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_N \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^*_T [B] \VECi{I}
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^*_T [B]^*_T \VECi{I}
\nonumber \\
&=& \VECi{I}_T [B]^* \VECi{I}^*
\nonumber \\
&=& \Big( \VECi{I}^*_T [B] \VECi{I} \Big)^*
\nonumber \\
&=& P^*
\end{eqnarray}
よって，$P$はエルミート2次形式（Hermitian quadratic form）である．
放射強度
単位立体角当たりの電力密度（power density per unit solid angle）を放射強度（radiation intensity）という．
スカラ関数$\psi$より放射強度$P_r$は，
\begin{gather}
P_r = \frac{1}{4\pi} \big| kr_0 \psi \big|^2
\label{eq:MoM-10-53}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-51}より，
\begin{eqnarray}
P_r &=& \frac{1}{4\pi} \left| kr_0 \frac{e^{-jkr_0}}{-jkr_0}
\sum_{n=1}^N I_n e^{jkr_n \cos \zeta _n} \right|^2
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \left| \sum_{n=1}^N I_n e^{jkr_n \cos \zeta _n} \right|^2
\end{eqnarray}
行列表示に変形して，
\begin{align}
&\sum_{n=1}^N I_n e^{jkr_n \cos \zeta _n}
\nonumber \\
&= \Big( e^{jkr_1\cos \zeta_1} \ \ e^{jkr_2\cos \zeta_2} \ \ \cdots \ \ e^{jkr_N\cos \zeta_N} \Big)
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_N \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&= \VECi{\chi}_T^* \VECi{I}
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{\chi}_T^* \equiv
\Big( e^{jkr_1\cos \zeta_1} \ \ e^{jkr_2\cos \zeta_2} \ \ \cdots \ \ e^{jkr_N\cos \zeta_N} \Big)
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
P_r &=& \frac{1}{4\pi} \Big| \VECi{\chi}_T^* \VECi{I} \Big|^2
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \Big( \VECi{\chi}_T^* \VECi{I} \Big)^* \Big( \VECi{\chi}_T^* \VECi{I} \Big)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VECi{I}_T^* \VECi{\chi} \VECi{\chi}_T^* \VECi{I}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VECi{I}_T^* [A] \VECi{I}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
[A] \equiv \VECi{\chi} \VECi{\chi}_T^*
\equiv
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{N1} & A_{N2} & \cdots & A_{NN} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
正方行列（square matrix）
$[A]$
の行列要素
$A_{mn}$
は，
\begin{gather}
A_{mn} = e^{jk(r_n \cos \zeta _n-r_m \cos \zeta _m)}
\end{gather}
したがって，放射強度$P_r$は，
\begin{eqnarray}
P_r
&=& \frac{1}{4\pi} \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N I_m^* I_n A_{mn}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N I_m^* I_n e^{jk(r_n \cos \zeta _n -r_m \cos \zeta _m)}
\label{eq:MoM-10-54}
\end{eqnarray}
アンテナ利得
アンテナ利得（antenna gain）$G$ は，
\begin{gather}
G = \frac{4\pi P_r}{P}
= \frac{\VECi{I}_T^* [A] \VECi{I}}{\VECi{I}_T^* [B] \VECi{I}}
\end{gather}
極値条件より，最大利得は次式の固有値の最大値$G$となる．
\begin{gather}
[A] \VECi{I} = G [B] \VECi{I}
\end{gather}
先に示したように，
$[A] = \VECi{\chi} \VECi{\chi}_T^*$
のケースより，
\begin{gather}
\VECi{\chi} \VECi{\chi}_T^* \VECi{I} = G [B] \VECi{I}
\end{gather}
この固有値もまたゼロではなく，最大利得
$G_{max}$
は，
\begin{gather}
G_{max} = \frac{\VECi{I}_T^{(m)*} \VECi{\chi} \VECi{\chi}_T^* \VECi{I}^{(m)}}{\VECi{I}_T^{(m)*} [B] \VECi{I}^{(m)}}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
C = \frac{\VECi{I}_T^{(m)*} \VECi{\chi}}{\VECi{I}_T^{(m)*} [B] \VECi{I}^{(m)}}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\VECi{I}_T^{(m)*} [B] \VECi{I}^{(m)} = \frac{\VECi{I}_T^{(m)*} \VECi{\chi}}{C}
\nonumber \\
[B] \VECi{I}^{(m)} = \frac{\VECi{\chi}}{C}
\nonumber \\
\VECi{I}^{(m)} = [B]^{-1} \frac{\VECi{\chi}}{C}
\end{gather}
これより，
$G_{max}$
は，
\begin{eqnarray}
G_{max}
&=& C \VECi{\chi}_T^* \VECi{I}^{(m)}
\nonumber \\
&=& C \VECi{\chi}_T^* [B]^{-1} \frac{\VECi{\chi}}{C}
\nonumber \\
&=& \VECi{\chi}_T^* [B]^{-1} \VECi{\chi}
\end{eqnarray}
行列形式で表すと，
\begin{align}
&G_{max}
= \Big( e^{jkr_1\cos \zeta_1} \ \ e^{jkr_2\cos \zeta_2} \ \ \cdots \ \ e^{jkr_N\cos \zeta_N} \Big)
\nonumber \\
&\cdot \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1N} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{N1} & B_{N2} & \cdots & B_{NN} \\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
e^{-jkr_1\cos \zeta_1} \\ e^{-jkr_2\cos \zeta_2} \\ \vdots \\ e^{-jkr_N\cos \zeta_N} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
このような最大利得について，これまで，ブロードサイド・リニアアレー，エンドファイアーアレー，円形アレーについて適用されている．