7.7 極値条件と最大利得
特別な場合（ケースA）
行列 $[A]$ を列ベクトル $\VECi{x}$ によって
$[A] = \VECi{x} \VECi{x}_T^*$
で表せる場合を考える．
\begin{gather}
\VECi{x} =
\begin{pmatrix}
A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ { } \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{x}_T^* =
\Big( A_1^* \ \ A_2^* \ \ \cdots \ \ \ \ \Big)
\end{gather}
ただし，
$\VECi{x}$
は列ベクトル，
$\VECi{x}_T^*$
は列ベクトル
$\VECi{x}$
の複素共役の転置を示す．行列
$[A]$
の要素には，
$A_{mn} = A_{nm}^*$
の関係があるので，
$[A]$
はエルミート行列（Hermitian matrix）である．
このとき，エルミート2次形式の比
$\varepsilon$
は，次のようになる．
\begin{gather}
\varepsilon
= \frac{\VECi{\alpha}^*_T [A] \VECi{\alpha}}{
\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
= \frac{\VECi{\alpha}^*_T \VECi{x} \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}}{
\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
\end{gather}
すでに導出した最大化の条件
$[A] \VECi{\alpha} = \varepsilon [B] \VECi{\alpha}$
より，
\begin{gather}
\VECi{x} \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}
= \varepsilon [B] \VECi{\alpha}
= \frac{\VECi{\alpha}^*_T \VECi{x} \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}}{
\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
[B] \VECi{\alpha}
\label{eq:MoM-10-26c}
\end{gather}
ただし，
$ \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}$
はスカラ関数であり，
$X \equiv \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}$
とおくと，複素共役は，
\begin{gather}
X^* = \VECi{x}_T \VECi{\alpha}^* = \VECi{\alpha}^*_T \VECi{x}
\end{gather}
これより，式\eqref{eq:MoM-10-26c}は次のようになる．
\begin{align}
&\VECi{x} X
= \frac{X^* X}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
[B] \VECi{\alpha}
\nonumber \\
&\left(
\VECi{x} - \frac{X^*}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}} [B] \VECi{\alpha}
\right) X = 0
\end{align}
よって，
\begin{gather}
X=0, \ \ \ \ \ \
%mbox{and} \ \ \ \ \
\VECi{x} - \frac{X^*}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}} [B] \VECi{\alpha}
= 0
\end{gather}
$X = 0$ のとき，
$\varepsilon = 0$．
$i$ 番目の固有値（eigenvalue）を
$\hat{\varepsilon}_i$，
固有ベクトル（eigenvector）を
$\VECi{\alpha}^{(i)}$
とすると，
\begin{gather}
\hat{\varepsilon}_i = 0, \ \ \ \ \
\VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}^{(i)} = 0 \ \ \ \ (i=1,2,\cdots \ \ \ )
\label{eq:MoM-10-26e}
\end{gather}
一方，
$X = \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha} \neq 0$
のとき，
\begin{gather}
\VECi{x} - \frac{1}{C} [B] \VECi{\alpha} = 0
\end{gather}
ここで，$C$はスカラ関数（scalar function）で次式で定義される（上式は分母，分子ともにスカラ）．
\begin{gather}
\frac{1}{C} \equiv
\frac{X^*}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
= \frac{\VECi{\alpha}^*_T \VECi{x}}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
\end{gather}
このとき，
\begin{gather}
\frac{1}{C} \VECi{\alpha} = [B]^{-1} \VECi{x}
\label{eq:MoM-10-alpha}
\end{gather}
これより，
$\varepsilon$
の極値は，
\begin{gather}
\varepsilon
= \frac{\VECi{\alpha}^*_T \VECi{x} \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}}{
\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
= \frac{\VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}}{C}
=\VECi{x}_T^* [B]^{-1} \VECi{x}
\equiv \hat{\varepsilon}
\label{eq:MoM-10-26d}
\end{gather}
ただし，
$\hat{\varepsilon}$
はゼロでない一つの固有値（one nonzero eigenvalue）である．
$\hat{\varepsilon}$
に対応する固有ベクトルを
$\hat{\VECi{\alpha}}$
とすると，
\begin{gather}
\VECi{x} \VECi{x}_T^* \hat{\VECi{\alpha}}
= \hat{\varepsilon} [B] \hat{\VECi{\alpha}}
\end{gather}
固有ベクトル
$\VECi{\alpha}^{(i)*}_T$
を上式両辺の左側から乗じて，
\begin{gather}
\VECi{\alpha}^{(i)*}_T \VECi{x} \VECi{x}_t^* \hat{\VECi{\alpha}}
= \VECi{\alpha}^{(i)*}_T \hat{\varepsilon} [B] \hat{\VECi{\alpha}}
\end{gather}
$\VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}^{(i)} = 0$
ゆえ
$\VECi{\alpha}^{(i)*}_T \VECi{x} = 0$，および
$\hat{\varepsilon}\neq 0$
より，
\begin{gather}
\VECi{\alpha}^{(i)*}_T [B] \hat{\VECi{\alpha}} = 0
\end{gather}
上式は，固有ベクトル$\VECi{\alpha}^{(i)} \ (i=1,2,\cdots \ )$
と
$\hat{\VECi{\alpha}}$
の直交性（orthogonal relation）を示す重み付きスカラ積となっている．いま，
\begin{gather}
\hat{\VECi{\alpha}} \equiv C \VECi{\alpha}'
\end{gather}
として$(C \neq 0)$，
$\hat{\VECi{\alpha}}$のかわりに，
\begin{gather}
\VECi{\alpha}' = [B]^{-1} \VECi{x}
\end{gather}
を用いて表すと，
\begin{gather}
\hat{\varepsilon}
= \frac{\VECi{x}_T^* C \VECi{\alpha}'}{C}
= \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}'
(= \VECi{x}_T^* [B]^{-1} \VECi{x})
\end{gather}
また，
\begin{gather}
\varepsilon
= \frac{C^* {\VECi{\alpha}'_T}^* \VECi{x} \VECi{x}_T^* C \VECi{\alpha}'}{
C^* {\VECi{\alpha}'_T}^* [B]C \VECi{\alpha}'}
= \frac{{\VECi{\alpha}'_T}^* \VECi{x} \VECi{x}_T^* \VECi{\alpha}'}{
{\VECi{\alpha}'_T}^* [B] \VECi{\alpha}'}
\end{gather}
アレーの最大利得
アレーアンテナの利得を最大にする条件は，次のような固有値方程式となる．
\begin{gather}
\VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a
= \frac{G}{K_1} \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^a
\label{eq:MoM-10-40}
\end{gather}
ただし，$G/K_1$は固有値（eigenvalue）である．
上式は，正方行列$\VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T$ で表される式\eqref{eq:MoM-10-26c}のケースに相当する．
さらに$[Z_{ta}^*]_T [Z_{ta}]$は一項のみのダイアードとなり，固有値は一つを除いて全てゼロとなる．
インピーダンス行列の性質より，
$\big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big)$ は正定値 (positive definite)，
$\VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T$ は半正定値 (positive semidefinite) である．よって，全ての固有値は正かゼロである．
ただし，固有値の一つは式\eqref{eq:MoM-10-26d}によって与えられゼロではない．
また，式\eqref{eq:MoM-10-26e}から
$\VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a=0$
ゆえ，固有値は一つを除いて全てゼロとなる．したがって，式\eqref{eq:MoM-10-40}のゼロでないただ一つの固有値，および対応する固有ベクトル$[I_a]$を求める問題と考えればよい．
いま，式\eqref{eq:MoM-10-40}のゼロでない固有値に対応する固有ベクトルを
$\VECi{I}^{(N)}$
とおくと，
\begin{gather}
\VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_t \VECi{I}^{(N)}
= \frac{G}{K_1} \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^{(N)}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-alpha}より，固有ベクトル
$\VECi{I}^{(N)}$
は，
\begin{gather}
\VECi{I}^{(N)}
= C \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big)^{-1} \VECi{Z}^{ta*}
\label{eq:MoM-10-45}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-26d}より，最大利得（maximum gain）$G_{max}$は，
\begin{gather}
G_{max}
= K_1 \VECi{Z}^{ta}_t \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big)^{-1} \VECi{Z}^{ta*}
\label{eq:MoM-10-46}
\end{gather}
これは，$\VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_t$となる特別な場合で，
ゼロ固有値（$G/K_1=0$）に対応する線形独立な固有ベクトルを
$\VECi{I}^{(1)}$，$\VECi{I}^{(2)} \cdots, \VECi{I}^{(N-1)}$とすると，
例えば次のようになる．
\begin{align}
&\VECi{I}^{(1)} =
\begin{pmatrix}
1/Z_{t1} \\
-1/Z_{t2} \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{I}^{(2)} =
\begin{pmatrix}
1/Z_{t1} \\
0 \\
-1/Z_{t3} \\
\vdots \\
0 \\
\end{pmatrix}
\\
&\cdots
\nonumber \\
&\VECi{I}^{(N-1)} =
\begin{pmatrix}
1/Z_{t1} \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
-1/Z_{tN} \\
\end{pmatrix}
\label{eq:MoM-10-43}
\end{align}
ただし，
$Z_{ti}$
は
$\VECi{Z}_{ta}$
の $i$ 番目の要素であり，
$\VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^{(i)} = 0$
を満足する．
そして，式\eqref{eq:MoM-10-40}の両辺に左側から
$\VECi{I}^{(i)*}_T$
を乗じて，
\begin{gather}
\VECi{I}^{(i)*}_T \VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^{(N)}
= \frac{G}{K_1} \VECi{I}^{(i)*}_t \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^{(N)}
\end{gather}
さて，$\VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^{(i)} = 0 \ (i=1,2,\cdots , N-1)$より，
\begin{gather}
\VECi{I}^{(i)*}_T \VECi{Z}^{ta*} = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\VECi{I}^{(i)*}_T \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^{(N)} = 0
\ \ \ (i=1,2,\cdots , N-1)
\label{eq:MoM-10-42}
\end{gather}
そこで，重み付きスカラ積を次のように定義する．
\begin{gather}
\langle \VECi{I}^{(i)}, \VECi{I}^{(j)} \rangle
\equiv \VECi{I}^{(i)*}_t \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^{(j)}
\label{eq:MoM-10-41}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-42}の直交性は次のようになる．
\begin{gather}
\langle \VECi{I}^{(i)}, \VECi{I}^{(N)} \rangle
= 0 \ \ \ \ \
(i=1,2,\cdots, N-1)
\end{gather}
それゆえ，式\eqref{eq:MoM-10-40}で右辺がゼロとなる式の解を考えればよい．いま，
$\VECi{I}^{(N)}$
は式\eqref{eq:MoM-10-42}による全ての
$\VECi{I}^{(i)}$
と直交しなければならない（Schmidtの直交化によって$[I]_N$を構成することができる）．
ただし，式\eqref{eq:MoM-10-43}より，
$\VECi{I}^{(i)}$
はテストアンテナに対してフィールドを発生しないようなアレーの励振であるから，アレーの最大利得（maximum gain）を得るときの励振
$\VECi{I}^{(N)}$
はゼロ利得（zero gain）となる電流と全て直交関係があることを意味している．
電圧源による励振の場合，双対的な式を考えれば，式(\ref{eq:MoM-10-40})に対する極値問題の解法は次の固有値方程式から行え，
\begin{gather}
\VECi{Y}^{ta*} \VECi{Y}^{ta}_T \VECi{V}^a
= \frac{G}{K_2} \big( [Y_{aa}] + [Y_{aa}]^*_T \big) \VECi{V}^a
\label{eq:MoM-10-47}
\end{gather}
これより，最大利得を得る励振
$\VECi{V}^a$
を決定できる．
最大利得はもちろん電流励振（current excitation）でも電圧励振（voltage excitation）でも同じであるが，
固有ベクトル$\VECi{I}^{(N)}$，$\VECi{V}^{(N)}$は異なる．
電圧励振の場合の最大利得を得る$\VECi{V}^{(N)}$は，
\begin{gather}
\VECi{V}^{(N)}
= C \big( [Y_{aa}] + [Y_{aa}]^*_T \big)^{-1} \VECi{Y}^{ta*}
\label{eq:MoM-10-48}
\end{gather}
上式は，式\eqref{eq:MoM-10-45}と双対である．
最終的に最大利得$G_{max}$は次のようになる．
\begin{gather}
G_{max}
= K_2 \VECi{Y}^{ta}_T \big( [Y_{aa}] + [Y_{aa}]^*_T \big)^{-1} \VECi{Y}^{ta*}
\label{eq:MoM-10-49}
\end{gather}