7.6 アンテナ利得
インピーダンス行列
$N$個の入力端子対を有する任意のアンテナアレーを考え，このアレーから十分離れた遠方界領域，つまり平面波領域にテストアンテナをおく．
ここでは，テストアンテナには一つの入力端子対があって，単一偏波を受信あるいは送信するものとする．
アレーアンテナとテストアンテナで
$(N+1)$
端子対回路ゆえ，この回路の端子の特性は，
$(N+1)$
次の正方行列によって表すことができ，インピーダンス行列より，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_t \\
\VECi{V}^a \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{tt} & \VECi{Z}^{ta}_t \\
\VECi{Z}^{at} & [Z_{aa}] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_t \\
\VECi{I}^a \\
\end{pmatrix}
\label{eq:MoM-10-29}
\end{gather}
ただし，
$V_t$，$I_t$
はテストアンテナの端子電圧および電流を示し，
$\VECi{V}^a$，$\VECi{I}^a$
はアレーの端子での電圧および電流を要素とする次のような列ベクトルである．
\begin{gather}
\VECi{V}^a =
\begin{pmatrix}
V_1 \\
V_2 \\
\vdots \\
V_N \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{I}^a =
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
\vdots \\
I_N \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
また，$Z_{tt}$はテストアンテナの入力インピーダンスを示し，
$[Z_{aa}]$
はアレーアンテナのインピーダンス行列で次のようにおく．
\begin{gather}
[Z_{aa}]=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} & \cdots & Z_{1N} \\
Z_{21} & Z_{22} & \cdots & Z_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
Z_{N1} & Z_{N2} & \cdots & Z_{NN} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
そして
$[Z_{ta}]$，$[Z_{at}]$
はテストアンテナとアレーの端子間の相互インピーダンス（mutual impedance）を示し，行ベクトルによって次のようにおく．
\begin{gather}
\VECi{Z}^{ta} =
\begin{pmatrix}
Z_{t1} \\
Z_{t2} \\
\vdots \\
Z_{tN} \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{Z}^{at}_T = \Big( Z_{1t} \ \ Z_{2t} \ \ \cdots \ \ Z_{Nt} \Big)
\end{gather}
アンテナおよび媒質が相反性を有するとき，
$[Z_{aa}] = [Z_{aa}]_T$，
$[Z_{ta}] = [Z_{at}]_T$（転置行列がもとの行列と等しい）が成り立つ．
アドミタンス行列
一方，$(N+1)$端子対回路におけるアドミタンス行列を用いれば，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
I_t \\
\VECi{I}^a \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Y_{tt} & \VECi{Y}^{ta}_T \\
\VECi{Y}^{at} & [Y_{aa}] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_t \\
\VECi{V}^a \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
なお，上式のアドミタンス行列のパラメータは，インピーダンス行列と双対的なものである．
放射強度
いま，アレーの端子に電流源
$I_1, I_2, \cdots, I_N$
を接続して励振させ，テストアンテナの端子を開放にした場合を考える．入力電力
$P_{in}$
は，先に示したように，次式で与えられる．
\begin{gather}
P_{in} = \frac{1}{2} \VECi{I}^{a*}_T \Big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \Big) \VECi{I}^a
\label{eq:MoM-10-34}
\end{gather}
両アンテナの偏波面を一致させると，テストアンテナの端子電圧の大きさは，テストアンテナへ入射する放射強度に比例した値となる．
いま，式\eqref{eq:MoM-10-29}より，
$I_t =0$（開放）
とおくと，テストアンテナの端子電圧
$V_t$
は，
\begin{eqnarray}
V_t
&=& \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a
\nonumber \\
&=& \Big( Z_{t1} \ \ Z_{t2} \ \ \cdots \ \ Z_{tN} \Big)
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_N \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N Z_{tn}I_n
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N I_n Z_{tn}
\nonumber \\
&=& \Big( I_1 \ \ I_2 \ \ \cdots \ \ I_N \Big)
\begin{pmatrix}
Z_{t1} \\ Z_{t2} \\ \vdots \\ Z_{tN} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^a_T \VECi{Z}^{ta}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\big| V_t \big| ^2
&=& \big| \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a \big| ^2
\nonumber \\
&=& \big( \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a \big)^* \big( \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a \big)
\nonumber \\
&=& \VECi{Z}^{ta*}_T \VECi{I}^{a*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^{a*}_T \VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a
\end{eqnarray}
これより，テストアンテナの方向での放射強度 (radiation intensity) $P_r$は，
\begin{eqnarray}
P_r &=& \frac{1}{8\pi} K_1 \big| V_t \big| ^2
\nonumber \\
&=& \frac{1}{8\pi} K_1 \VECi{I}^{a*}_T \VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a
\label{eq:MoM-10-36}
\end{eqnarray}
ただし，$K_1$はテストアンテナの受信開口面によって決まる係数を示す．
電力利得
アンテナの電力利得 (power gain) $G$は，供試アンテナと無指向性アンテナに同じ電力を入力したときの両者の放射強度の比によって定義され，次のようになる．
\begin{gather}
G = \frac{4\pi \times (\mbox{radiation intensity})}{(\mbox{power input to the antenna})}
\label{eq:MoM-10-37}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-37}に式\eqref{eq:MoM-10-34}および式\eqref{eq:MoM-10-36}を代入すると，次のようにエルミート形式の比となる．
\begin{eqnarray}
G &=& \frac{4\pi P_r}{P_{in}}
\nonumber \\
&=& \frac{ 4\pi \cdot \frac{1}{8\pi} K_1 \VECi{I}^{a*}_T \VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a}{
\frac{1}{2} \VECi{I}^{a*}_T \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^a}
\nonumber \\
&=& K_1 \frac{\VECi{I}^{a*}_T \VECi{Z}^{ta*} \VECi{Z}^{ta}_T \VECi{I}^a}{
\VECi{I}^{a*}_T \big( [Z_{aa}] + [Z_{aa}]^*_T \big) \VECi{I}^a}
\label{eq:MoM-10-38}
\end{eqnarray}
電圧源
$V_1, V_2, \cdots, V_N$
をアレーの端子に接続して励振し，テストアンテナの端子を短絡したときの問題は，上と相対的な関係である．
式\eqref{eq:MoM-10-34}および式\eqref{eq:MoM-10-36}に対して相対的な式を考えると，
\begin{gather}
P_{in}
= \frac{1}{2} \VECi{V}^{a*}_T \big( [Y_{aa}] + [Y_{aa}]^*_T \big) \VECi{V}^a
\end{gather}
および
\begin{eqnarray}
P_r &=& \frac{1}{8\pi} K_2 \big| I_t \big| ^2
\nonumber \\
&=& \frac{1}{8\pi} K_2 \VECi{V}^{a*}_T \VECi{Y}^{ta*} \VECi{Y}^{ta}_T \VECi{V}^a
\end{eqnarray}
よって，双対的なパラメータを用いて表したアンテナ利得の式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
G &=& \frac{4\pi P_r}{P_{in}}
\nonumber \\
&=& K_2 \frac{\VECi{V}^{a*}_T \VECi{Y}^{ta*} \VECi{Y}^{ta}_T \VECi{V}^a}{
\VECi{V}^{a*}_T \big( [Y_{aa}] + [Y_{aa}]^*_T \big) \VECi{V}^a}
\label{eq:MoM-10-39}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:MoM-10-38}および式\eqref{eq:MoM-10-39}は，問題に応じて使い分けるとよい．例えば，ダイポールアンテナ（dipole antenna）では電流を励振して考えるのに対して，開口面アンテナ（aperture antenna）では電圧を励振して考えると分かり易い．