7.4 エルミート2次形式の比の極値条件
電磁波回路ならびにアンテナの性能指数の中には，
例えば，アンテナ利得（antenna gain ），S/N比（signal-to-noise ratio），Q値（quality factor），能率（efficiency）等，
次のようなエルミート2次形式（quadratic forms）の比
$\varepsilon$
によって表される場合がある．
\begin{gather}
\varepsilon = \frac{\VECi{\alpha}^*_T [A] \VECi{\alpha}}{\VECi{\alpha}^*_T [B] \VECi{\alpha}}
\label{eq:MoM-10-17}
\end{gather}
ただし，
$[A]$
および
$[B]$
は正方エルミート行列（square Hermitian matrices），
$\VECi{\alpha}$
は未知の列ベクトル（column matrix）を示す．ここでは，上式の
$\varepsilon$
の最大値およびそのときの
$\VECi{\alpha}$
を求める問題について考える．これは極値を求める問題であり，通常の方法によれば，
変数を列ベクトル
$\VECi{\alpha}$
の各々の要素
$\alpha _i$
として，全ての
$i$
に対して次の条件を考えればよい．
\begin{gather}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i} = 0, \ \ \ \ \
%\mbox{and} \ \ \ \ \
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*} = 0
\label{eq:MoM-10-18}
\end{gather}
条件式として式\eqref{eq:MoM-10-18}の2式があるのは，一般に
$\VECi{\alpha}$
が複素数で，
$\varepsilon$
は各々の
$\alpha _i$
について2つのパラメータに対して最大化しなければならないからである．そこで，
$\alpha _i' \equiv \Re (\alpha _i)$
および
$\alpha _i'' \equiv \Im (\alpha _i)$
とおくと，
\begin{gather}
\alpha _i = \alpha _i' + j\alpha _i'', \ \ \ \ \
\alpha _i^* = \alpha _i' - j\alpha _i''
\label{eq:MoM-10-19}
\end{gather}
この場合，極値を求める条件は，
\begin{gather}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i'} = 0, \ \ \ \ \
%\mbox{and} \ \ \ \ \
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i''} = 0
\label{eq:MoM-10-20}
\end{gather}
となり，ここでは先に示した条件と等価であることを示していく．まず，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i'}
&=& \frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i} \frac{\partial \alpha_i}{\partial \alpha _i'}
+ \frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*} \frac{\partial \alpha_i^*}{\partial \alpha _i'}
\\
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i''}
&=& \frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i} \frac{\partial \alpha_i}{\partial \alpha _i''}
+ \frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*} \frac{\partial \alpha_i^*}{\partial \alpha _i''}
\label{eq:MoM-10-21}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:MoM-10-19}より，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \alpha _i}{\partial \alpha_i'}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i'} \Big( \alpha _i' + j\alpha _i'' \Big)= 1
\\
\frac{\partial \alpha _i^*}{\partial \alpha_i'}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i'} \Big( \alpha _i' - j\alpha _i'' \Big)= 1
\\
\frac{\partial \alpha _i}{\partial \alpha_i''}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i''} \Big( \alpha _i' + j\alpha _i'' \Big)= j
\\
\frac{\partial \alpha _i^*}{\partial \alpha_i''}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i''} \Big( \alpha _i' - j\alpha _i'' \Big)= -j
\end{eqnarray}
よって，式\eqref{eq:MoM-10-21}は次のようになり，両者の条件式は等価であることがわかる．
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i'}
&=& \frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i}+\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*}=0
\\
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i''}
&=& j \left(
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i}-\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*}
\right)=0
\label{eq:MoM-10-22}
\end{eqnarray}
さて，式\eqref{eq:MoM-10-18}を適用するため，式\eqref{eq:MoM-10-17}を次のように変形する．
\begin{gather}
\varepsilon
= \frac{\displaystyle{\sum_{j,k} \alpha _j^* A_{jk} \alpha _k}}{
\displaystyle{\sum_{j,k} \alpha _j^* B_{jk} \alpha _k}}
\equiv \frac{N}{D}
\label{eq:MoM-10-23}
\end{gather}
式\eqref{eq:MoM-10-18}の第1式に代入して，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i} \left( \frac{N}{D} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \frac{\partial N}{\partial \alpha _i}
- N \frac{\partial D}{\partial \alpha _i} \right]
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \frac{\partial}{\partial \alpha _i}
\left( \sum_{j,k} \alpha _j^* A_{jk} \alpha _k \right) \right.
\nonumber \\
&&\left. - N \frac{\partial}{\partial \alpha _i}
\left( \sum_{j,k} \alpha _j^* B_{jk} \alpha _k \right) \right]
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \sum_{j} \alpha _j^* A_{ji}
- N \sum_{j} \alpha _j^* B_{ji} \right] = 0
\label{eq:MoM-10-24}
\end{eqnarray}
上式は全ての $i$ について成り立ち，行列でまとめて表すと，
\begin{gather}
\frac{1}{D^2} \Big( D[A] \VECi{\alpha}^*_T - N[B] \VECi{\alpha}^*_T \Big) = 0
\label{eq:MoM-10-24m}
\end{gather}
同様にして，式\eqref{eq:MoM-10-18}の第2式に代入すると，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \alpha _i^*}
&=& \frac{\partial}{\partial \alpha _i^*} \left( \frac{N}{D} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \frac{\partial N}{\partial \alpha _i^*}
- N \frac{\partial D}{\partial \alpha _i^*} \right]
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \frac{\partial}{\partial \alpha _i^*}
\left( \sum_{j,k} \alpha _j^* A_{jk} \alpha _k \right) \right.
\nonumber \\
&&\left. - N \frac{\partial}{\partial \alpha _i^*}
\left( \sum_{j,k} \alpha _j^* B_{jk} \alpha _k \right) \right]
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left[ D \sum_{k} A_{ik} \alpha _k
- N \sum_{k} B_{ik} \alpha _k \right] = 0
\label{eq:MoM-10-25}
\end{eqnarray}
行列表示して，
\begin{gather}
\frac{1}{D^2} \Big( D[A] \VECi{\alpha} - N[B] \VECi{\alpha} \Big) = 0
\end{gather}
これより，$D \neq 0$において（$\varepsilon$が最大値をとならない場合を除く），
\begin{align}
&D [A] \VECi{\alpha} - N [B] \VECi{\alpha} = 0
\nonumber \\
&[A] \VECi{\alpha} = \frac{N}{D}[B] \VECi{\alpha}
= \varepsilon [B] \VECi{\alpha}
\label{eq:MoM-10-26}
\end{align}
また，式\eqref{eq:MoM-10-24m}は，
\begin{align}
&D [A] \VECi{\alpha}^* - N [B] \VECi{\alpha}^* = 0
\nonumber \\
&\VECi{\alpha}^*_T [A] = \frac{N}{D} \VECi{\alpha}^*_T [B]
= \varepsilon \VECi{\alpha}^*_T [B]
\end{align}
共役転置をとると，
\begin{gather}
[A]^*_T \VECi{\alpha}
= \varepsilon^* [B]^*_T \VECi{\alpha}
\end{gather}
$[A]$，$[B]$
はエルミート行列ゆえ，
\begin{gather}
[A]=[A]^*_T, \ \ \ \ \
[B]=[B]^*_T
\end{gather}
また，$\varepsilon$はエルミート形式ゆえ，
$\varepsilon = \varepsilon^*$
が成り立つ．したがって，極値条件として，
\begin{gather}
[A] \VECi{\alpha}
= \varepsilon [B] \VECi{\alpha}
\label{eq:MoM-10-26b}
\end{gather}
が得られ，もう一つの条件式と一致する．そこで，例えば，一方の条件式
\begin{gather}
\frac{\partial \rho}{\partial \alpha _i^*} = 0 \ \ \ \ (i=1,2,\cdots)
\end{gather}
を考えればよい．このとき，
$\varepsilon$
は固有値（eigenvalue）とみなせ，
$\varepsilon$
の定義式は固有値方程式（eigenvalue equation）となっている．それゆえ，
$\varepsilon$
の最大値は固有値の最大値を求めることでもある$^\ddagger$．
$\ddagger$ Felix R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol.1, AMS Chelsea Publishing (1990).