7.3　エルミート形式の例：放射電力

　スカラ波動方程式（scalar wave equation）を考えると，放射電力はエルミート形式（Hermitian form）となる． これを説明するため，波源を $\rho$ として，次のヘルムホルツ方程式（Helmholtz equation）を満たす仮想的なスカラーフィールド（scalar field）$\psi$を考える． \begin{gather} \left( \nabla^2 + k^2 \right) \psi = \frac{4\pi}{jk} \rho \label{eq:MoM-10-11} \end{gather} ただし，$k(=2\pi/\lambda)$は波数を示す．境界条件（boundary condition）として，無限遠での放射条件（radiation condition at infinity）を用いると，よく知られた次の積分が得られる． \begin{gather} \psi = \iiint \rho \frac{e^{-jkR}}{-jkR} d\tau \equiv L\rho \label{eq:MoM-10-12} \end{gather} ただし，$R$は波源の点からフィールドの観測点までの距離， $L$ は作用素を示す．波源によって放射された電力$P$は，次のようになることが知られている． \begin{eqnarray} P &=& \Re \left( \iiint \rho^* \psi d\tau \right) \nonumber \\ &=& \Re \langle \rho^*, \psi \rangle \nonumber \\ &=& \Re \langle \rho^*, L\rho \rangle \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \big( \langle \rho^*, L\rho \rangle + \langle \rho, L^*\rho^* \rangle \big) \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} \langle L f, g \rangle &=& \langle g, L f \rangle \nonumber \\ &=& \iiint_\tau g(\tau) \left( \iiint_{\tau'} f(\tau') \frac{e^{-jkR}}{-jkR} d\tau' \right) d\tau \nonumber \\ &=& \iiint_{\tau'} f(\tau') \left( \iiint_{\tau} g(\tau) \frac{e^{-jkR}}{-jkR} d\tau \right) d\tau' \nonumber \\ &=& \langle f, L g \rangle \end{eqnarray} より，$L$は自己共役 (self-adjoint)である．作用素 $L$ について， $\langle Lf,g \rangle = \langle f,Lg \rangle$ であれば， $L$ は自己共役 (self-adjoint) であるという． 同様にして， \begin{gather} \langle L^* f, g \rangle = \langle f, L^* g \rangle \end{gather} が成り立ち，$L^*$も自己共役である．よって， \begin{align} &\langle L \rho, \rho^* \rangle = \langle \rho, L \rho^* \rangle \\ &\langle L^* \rho, \rho^* \rangle = \langle \rho, L^* \rho^* \rangle \end{align} これより，放射電力（radiated power）$P$は次のようにエルミート形式（Hermitian form）となる． \begin{eqnarray} P &=& \frac{1}{2} \big( \langle \rho^*, L\rho \rangle + \langle \rho^*, L^*\rho \rangle \big) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \langle \rho^*, (L+L^*)\rho \rangle \nonumber \\ &=& \langle \rho^*, (\Re \ L)\rho \rangle \nonumber \\ &=& \langle \rho, (\Re \ L)\rho^* \rangle \nonumber \\ &=& \Big( \langle \rho^*, (\Re \ L)\rho \rangle \Big)^* \nonumber \\ &=& P^* \label{eq:MoM-10-15} \end{eqnarray} ただし，($\Re \ L$)は作用素（operator）であり，次式となる． \begin{eqnarray} (\Re \ L)\rho &=& \frac{1}{2} (L+L^*) \rho \nonumber \\ &=& \iiint \rho \frac{\sin kR}{kR} d\tau \label{eq:MoM-10-16} \end{eqnarray} 放射電力は正ゆえ，($\Re \ L$)は正値作用素 (positive definite operator) である．