7.2 エルミート形式の例：線形回路網の消費電力
エルミート形式を用いた回路やアンテナの極値問題について，文献$^\dagger$に示された内容を詳しく説明していく．
$\dagger$ Roger F. Harrington, Field Computation by Moment Methods
(IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory), ch.10, Wiley-IEEE Press (1993).
インピーダンス行列
$N$端子対線形回路（linear $N$-port network）で消費される電力は，端子電圧・電流を用いて表したエルミート形式（Hermitian form）となる．
いま，$N$端子対回路網のインピーダンス行列を
$[Z]$，
端子電流を要素とする列ベクトルを
$\VECi{I}$，
端子電圧を要素とする列ベクトルを
$\VECi{V}$
とすると，回路の複素電力（complex power）
$\dot{P}$
は，次のようになる．
\begin{gather}
\dot{P} = \VECi{I}^*_T \VECi{V}
= \VECi{I}^*_T [Z] \VECi{I}
\end{gather}
ただし，添字$T$は転置（transpose），肩文字$^*$は複素共役（complex conjugate）を示す．複素電力
$\dot{P}$
の複素共役
$\dot{P}^*$
は，
\begin{gather}
\dot{P}^*
= \Big( \VECi{I}^*_T [Z] \VECi{I} \Big)^*
= \VECi{I}_T [Z]^* \VECi{I}^*
= \VECi{I}^*_T [Z]^*_T \VECi{I}
\end{gather}
これより，回路で消費される電力（power dissipated in the network）$P$
は，複素電力
$\dot{P}$
の実部より，
\begin{eqnarray}
P &=& \Re (\dot{P})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} ( \dot{P} + \dot{P}^* )
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \Big( \VECi{I}^*_T [Z] \VECi{I}
+ \VECi{I}^*_T [Z]^*_T \VECi{I} \Big)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \VECi{I}^*_T \Big( [Z] + [Z]^*_T \Big) \VECi{I}
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^*_T [Z_H] \VECi{I}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
[Z_H] \equiv \frac{1}{2} \big( [Z] + [Z]^*_T \big)
\end{gather}
消費電力
$P$
の複素共役は，
\begin{eqnarray}
P^* &=& \Big( \VECi{I}^*_T [Z_H] \VECi{I} \Big)^*
\nonumber \\
&=& \VECi{I}_T [Z_H]^* \VECi{I}^*
\nonumber \\
&=& \VECi{I}^*_T [Z_H]^*_T \VECi{I}
\label{eq:MoM-10-8}
\end{eqnarray}
消費電力
$P$
は実数ゆえ，
$P = P^*$
である．これより，次式が成り立つ．
\begin{gather}
\VECi{I}^*_T [Z_H] \VECi{I}
= \VECi{I}^*_T [Z_H]^*_T \VECi{I}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
[Z_H] &=& [Z_H]^*_T
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \big( [Z] + [Z]^*_T \big)^*_T
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \big( [Z]^*_T + [Z] \big)
\end{eqnarray}
これより，
$[Z_H]$
はエルミート行列である．したがって，消費電力 $P$ はエルミート形式である．
受動 (passive) 回路のとき，電力 $P$ は負にはならない．
$[Z_H]$ は半正値定符号行列 (positive semidefinite matrix) で，
回路に損失があれば正値定符号 (positive definite) である．
なお，相反回路（reciprocal network）の場合，
$Z_{mn}=Z_{nm}$
より，$[Z_H]$ の要素 $Z_{H,mn}$ は，
\begin{eqnarray}
Z_{H,mn}
&=& \frac{1}{2}(Z_{mn}+Z_{nm}^*)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2}(Z_{mn}+Z_{mn}^*)
\nonumber \\
&=& \Re (Z_{mn})
\nonumber \\
&=& \Re (Z_{nm})
\end{eqnarray}
アドミタンス行列
端子電圧から消費電力 $P$ の複素電力を求めると
\begin{eqnarray}
P^* &=& \Big( \VECi{V}^*_T [Y_H] \VECi{V} \Big)^*
\nonumber \\
&=& \VECi{V}_T [Y_H]^* \VECi{V}^*
\nonumber \\
&=& \VECi{V}^*_T [Y_H]^*_T \VECi{V}
\end{eqnarray}
同様にして，アドミタンス行列$[Y]$に対して，
\begin{eqnarray}
[Y_H] &=& [Y_H]^*_T
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \big( [Y] + [Y]^*_T \big)^*_T
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \big( [Y]^*_T + [Y] \big)
\end{eqnarray}
ただし，
$[Y_H]$
は半正値定符号行列 (positive semidefinite matrix) ，
回路に損失があれば正値定符号である．したがって，$N$端子対線形回路で消費される電力は，端子電圧・電流を用いて表したエルミート形式となる．