7.11 相対2乗平均誤差の最小値
各モードの反射係数および透過係数は，相対2乗平均誤差
$F$ をこれらの係数のいずれに対しても最小となるように決定すればよいから，全ての $l$ に対して
\begin{gather}
\frac{\partial F}{\partial \alpha _l^*} = 0 \ \ \ \ \ (l=1,2,\cdots,N)
\end{gather}
より，
\begin{gather}
u_l^{k*} = \left( U_{l-}^k \right) \Big( \alpha \Big) \ \ \ \ \ (l=1,2,\cdots,N)
\end{gather}
全ての $l$ について列に並べて行列を構成すると，次のようになる．
\begin{gather}
\Big( u^k \Big)^*_T
= \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)
= \Big[ U^k \Big]
\begin{pmatrix}
\big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\Big[ U^k \Big] = \Big[ U^k \Big]^*_T
\end{gather}
このようにして得られた解を$\Big( \alpha ^k \Big)$とすると，相対2乗平均誤差
$F$ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
F
&=& 1
- (u^k) \Big( \alpha ^k \Big)
- (u^k)^* \Big( \alpha ^k \Big)^*
+ (\alpha^k)^*_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha ^k \Big)
\nonumber \\
&=& 1
- (u^k) \Big( \alpha ^k \Big)
- (u^k)^* \Big( \alpha ^k \Big)^*
+ (\alpha^k)^*_T \Big( u^k \Big)^*_T
\nonumber \\
&=& 1
- (u^k) \Big( \alpha ^k \Big)
\end{eqnarray}