7.10 最小2乗法によるモード整合法
不連続部のある導波路
異なる2つの一様導波路が接続された不連続部を考え，導波路軸方向を$z$軸，不連続部を
$z=0$
にとる．
$z \leq 0$
の導波路 #1および
$z \geq 0$
の導波路 #2の位置ベクトル
$\VEC{r} = z\VEC{a}_z+ \VECi{\rho}$
（$\VEC{a}_z$は$z$方向の単位ベクトル）における横断面内の電界
$\VEC{E}_t^{(1)}$，$\VEC{E}_t^{(2)}$，
および磁界
$\VEC{H}_t^{(1)}$，$\VEC{H}_t^{(2)}$は，不連続部における入射ルート電力波を
$a_{i,n}$，
反射ルート電力波を
$b_{i,n}$
とすると（$i=1,2$は導波路 #1, #2に対応，$n$はモードの次数），
\begin{gather}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( a_n^{(1)} e^{-\gamma_n^{(1)}z} + b_n^{(1)} e^{\gamma_n^{(1)}z} \right)
\overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( b_n^{(2)} e^{-\gamma_n^{(2)}z} + a_n^{(2)} e^{\gamma_n^{(2)}z} \right)
\overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{gather}
また，横断面内磁界$\VEC{H}_t^{(1)}$，$\VEC{H}_t^{(2)}$は，
\begin{gather}
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( a_n^{(1)} e^{-\gamma_n^{(1)}z} - b_n^{(1)} e^{\gamma_n^{(1)}z} \right)
\overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( b_n^{(2)} e^{-\gamma_n^{(2)}z} - a_n^{(2)} e^{\gamma_n^{(2)}z} \right)
\overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\overline{\VEC{e}}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
&=& \sqrt{Z_n^{(i)}} \VEC{e}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
\\
\overline{\VEC{h}}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
&=& \sqrt{Y_n^{(i)}} \VEC{h}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
\nonumber \\
&=& Y_n^{(i)} \VEC{a}_z \times \overline{\VEC{e}}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
ただし，
$\overline{\VEC{e}}_n^{(i)}$，$\overline{\VEC{h}}_n^{(i)} \ (i=1,2)$
は導波路 #1, #2における電界および磁界のモード関数（電力で規格化）を示し，複素の2次元ベクトルである．また，
$Z_n^{(i)}$，$Y_n^{(i)}$
は
$n$
次モードの波動インピーダンスおよび波動アドミタンスを示す．このとき，
$|a_n^{(i)}|^2$，$|b_n^{(i)}|^2$
は伝搬モードの場合は電力波であるが，遮断モードの場合は電力波を意味しない，
いわゆる共役整合を基にした一般化散乱行列とは異なるもので，全モードの縦続接続を行うための散乱行列である．
不連続部の境界条件
不連続部が開口面$S_0$，および
（完全）導体面$S_1$（導波路 #1側）, $S_2$（導波路 #2側）からなる場合，境界条件は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0)
&=& \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0) \ \ \ \
(\mbox{開口面}S_0)
\\
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0)
&=& \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0) \ \ \ \
(\mbox{開口面}S_0)
\\
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0)
&=& 0 \ \ \ \
(\mbox{導体面}S_1)
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0)
&=& 0 \ \ \ \
(\mbox{導体面}S_2)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
= \sum_n \left( a_n^{(1)} + b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
= \sum_n \left( b_n^{(2)} + a_n^{(2)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
= \sum_n \left( a_n^{(1)} - b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
= \sum_n \left( b_n^{(2)} - a_n^{(2)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{gather}
これより，散乱行列$[S]$は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{b}_1 \\ \VECi{b}_2 \\
\end{pmatrix}
= \Big[ S \Big]
\begin{pmatrix}
\VECi{a}_1 \\ \VECi{a}_2 \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\Big[ S \Big] =
\begin{pmatrix}
\big[ S_{11} \big] & \big[ S_{12} \big] \\
\big[ S_{21} \big] & \big[ S_{22} \big] \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{a}_i =
\begin{pmatrix}
a_1^{(i)} \\ a_2^{(i)} \\ \vdots \\ a_n^{(i)} \\ \vdots
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{b}_i =
\begin{pmatrix}
b_1^{(i)} \\ b_2^{(i)} \\ \vdots \\ b_n^{(i)} \\ \vdots
\end{pmatrix}
\ \ \ \ (i=1,2)
\end{gather}
散乱行列は，
\begin{gather}
[S_{i i'}] =
\begin{pmatrix}
S_{ii',11} & S_{ii',12} & \cdots & S_{ii',1n} & \cdots \\
S_{ii',21} & S_{ii',22} & \cdots & S_{ii',2n} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
S_{ii',m1} & S_{ii',m2} & \cdots & S_{ii',mn} & \cdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
単一モード入射の場合
導波路 #1
（$z \leq 0$）より
一つの $k$ 次モードだけが不連続部に入射波する場合（$a_k^{(1)} \neq 0$）を考えると，
それ以外に入射波がないことから
$a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0$
とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n
\left( a_n^{(1)} \delta_{nk} + b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n b_n^{(2)} \overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n
\left( a_n^{(1)} \delta_{nk} - b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n b_n^{(2)} \overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
散乱パラメータは，
\begin{eqnarray}
S_{11,mk} &=& \left. \frac{b_m^{(1)}}{a_k^{(1)}} \right| _{a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0}
\\
S_{21,mk} &=& \left. \frac{b_m^{(2)}}{a_k^{(1)}} \right| _{a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0}
\end{eqnarray}
これより，境界条件の式は散乱行列要素を用いて次のように表すことができる．
\begin{align}
&\sum_m
\left( \delta_{mk} + S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho})
= \sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho})
\ \ \ (\mbox{on} \ S_0) \\
&\sum_m
\left( \delta_{mk} - S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{h}}_m^{(1)}(\VECi{\rho})
= \sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{h}}_m^{(2)}(\VECi{\rho})
\ \ \ (\mbox{on} \ S_0)
\\
&\sum_m
\left( \delta_{mk} + S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) = 0
\ \ \ (\mbox{on} \ S_1)
\\
&\sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) = 0
\ \ \ (\mbox{on} \ S_2)
\end{align}
同様にして，
$S_{12,mk}$，$S_{22,mk}$
に関する式も得られ，ここでは，導波路 #1, #2におけるモードの展開項数を
$N_1, \ N_2$
と有限で打ち切った次のような分布を考え，このときの反射係数を
$R_{mk} \equiv S_{11,mk}$，
透過係数を
$T_{mk} \equiv S_{21,mk}$
とおくと，
$z=0$
の境界面での横断面内電磁界は，
\begin{eqnarray}
{\VEC{E}_t^{(1)}}' (\VECi{\rho})
&\equiv& \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} + R_{mk} \right)
\overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
{\VEC{E}_t^{(2)}}' (\VECi{\rho})
&\equiv& \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho})
\\
{\VEC{H}_t^{(1)}}' (\VECi{\rho})
&\equiv& \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} - R_{mk} \right)
\overline{\VEC{h}}_m^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
{\VEC{H}_t^{(2)}}' (\VECi{\rho})
&\equiv& \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{h}}_m^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
導波路 #1からの入射したときの相対2乗平均誤差
境界面（$z=0$）における相対2乗平均誤差 $F$ を次のように定義する．
\begin{gather}
F = \frac{1}{2} \left( \frac{C_E}{c_e} + \frac{C_H}{c_h} \right)
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
C_E
&=& \int _{S_0} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}'- {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\nonumber \\
&&+ \int _{S_1} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}' \right|^2 dS
+ \int _{S_2} \left| {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\\
C_H &=& \int _{S_0} \left| {\VEC{H}_t^{(1)}}'- {\VEC{H}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\end{eqnarray}
また，
\begin{align}
&c_e = \int _{S_0+S_1} \left| \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \right|^2 dS
%= |Z_k^r| \int_{S_r} \VEC{e}_k^r \cdot \VEC{e}_k^r dS
%= |Z_k^r|
\\
&c_h = \int _{S_0} \left| \overline{\VEC{h}}_k^{(1)} \right|^2 dS
%= Y_k^{r*} \sqrt{|Z_k^r|} Y_k^r \sqrt{|Z_k^r|} \int_{S_r} \VEC{h}_k^r \cdot \VEC{h}_k^r dS
%= |Y_k^r|
\end{align}
相対2乗平均誤差 $F$ の$C_E$の第1項を$C_{E1}$とおき，整理すると次のようになる．
\begin{eqnarray}
C_{E1}
&=& \int _{S_0} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}'- {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& \int _{S_0} \Big| \sum_m^{N_1}
\left( \delta_{mk} + R_{mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}
- \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \Big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \int _{S_0}
\Big\{ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} + \sum_m^{N_1} R_{mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}
+ \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \big( -\overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \big) \Big\} ^*
\nonumber \\
&& \cdot
\Big\{ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} + \sum_n^{N_1} R_{nk} \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}
+ \sum_n^{N_2} T_{nk} \ \big( -\overline{\VEC{e}}_n^{(2)} \big) \Big\}
dS
\nonumber \\
&=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \int _{S_0}
\begin{pmatrix}
\overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \\
\big({\overline{\VEC{e}}^{(1)}} \big)^*_T \\
-\big({\overline{\VEC{e}}^{(2)}} \big)^*_T \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&&\cdot \Big( \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \ \ \big(\overline{\VEC{e}}^{(1)}\big) \ \
-\big(\overline{\VEC{e}}^{(2)}\big) \Big) \ dS
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\big(\overline{\VEC{e}}^{(i)}\big)
= \big( \overline{\VEC{e}}_1^{(i)} \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(i)} \ \ \cdots \ \
\overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)} \big) \ \ \ \ \
(i=1,2)
\end{gather}
また，
\begin{gather}
\big(R_k\big) =
\begin{pmatrix}
R_{1k} \\ R_{2k} \\ \vdots \\ R_{N_1k} \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\big(T_k\big) =
\begin{pmatrix}
T_{1k} \\ T_{2k} \\ \vdots \\ T_{N_2k} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，
$\big({\overline{\VEC{e}}^{(i)}} \big)^*_T$，
$\big(R_k \big)^*_T$，
$\big(T_k \big)^*_T$
は各々
$\big(\overline{\VEC{e}}^{(i)}\big)$，
$\big(R_k\big)$，
$\big(T_k\big)$
の共役転置行列を示す．このとき，モード関数のスカラー積の項については，
\begin{gather}
\left(
\begin{array}{c|cccccc}
\ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} &
\cdots \ \ &
-\overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} &
-\overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} &
\cdots
\\ \\
\hline \\
\ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} &
\cdots \ \ &
-\overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} &
-\overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} &
\cdots
\\ \\
\ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} &
\cdots \ \ &
-\overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} &
-\overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} &
\cdots
\\ \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \ & \vdots & \vdots & \ddots
\\ \\
-\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} &
-\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} &
-\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} &
\cdots \ \ &
\ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} &
\cdots
\\ \\
-\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} &
-\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} &
-\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} &
\cdots \ \ &
\ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} &
\ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} &
\cdots
\\ \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \ & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\nonumber
\end{gather}
いま，積分項
\begin{gather}
\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_m^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_n^{(i')} dS
\ \ \ \ \ (i,i' =1,2)
\end{gather}
について行列表示すると，
\begin{gather}
C_{E1}
= \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
p_{e0} \Big| _{S_0} & \big(p_{11}^e \big) \Big| _{S_0} & -\big(p_{12}^e \big) \Big| _{S_0} \\
\big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]_{S_0} \\
-\big(p_{12}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで$(i,i' = 1,2)$，
\begin{gather}
p_{e0} \Big| _{S_0} = \int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} dS
= p_{e0}^* \Big| _{S_0}
\end{gather}
また，
\begin{gather}
\big( p_{1i'}^e \big)_{S_0} =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\end{pmatrix}
\\% \hspace{-6.6mm}
\Big[ P_{ii'}^E \Big]_{S_0} =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\\
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\Big[ P_{11}^{E}\Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0}
\\
\Big[ P_{22}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0}
\end{gather}
$C_E$の第2項$C_{E2}$および第3項$C_{E3}$も同様にして整理すると，
\begin{eqnarray}
C_{E2}
&=& \int _{S_1} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}' \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& \int _{S_1} \Big| \sum_m^{N_1}
\left( \delta_{mk} + R_{mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)} \Big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
p_{e0} \Big| _{S_1} & \big(p_{11}^e \big)_{S_1} & \big( ~0~ \big) \\
\big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_1} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_1} & \Big[ ~0~ \Big] \\
\big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ ~0~ \Big] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\\
C_{E3}
&=& \int _{S_2} \left| {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& \int _{S_2} \Big| \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \Big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
0 & \big( ~0~ \big) & \big( ~0~ \big) \\
\big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ ~0~ \Big] \\
\big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
したがって，$C_E= C_{E1} + C_{E2} + C_{E3}$は，
\begin{gather}
C_E
&=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
p_{e0} \Big| _{S_0+S_1} & \big(p_{11}^e \big)_{S_0+S_1} & -\big(p_{12}^e \big)_{S_0} \\
\big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_0+S_1} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0+S_1} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]_{S_0} \\
-\big(p_{12}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^E \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0+S_2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
p_{e0} \Big|_{S_0+S_1}
&=& \int _{S_0+S_1} \left| \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& c_e = c_e^*
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\Big[ P_{11}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0+S_1} = \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0+S_1}
\\
\Big[ P_{22}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0+S_2} = \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0+S_2}
\end{gather}
ただし，積分範囲$(S_0+S_1)$は導波路 #1
の断面全体，
$(S_0+S_2)$は導波路 #2
の断面全体である．
そして，
$C_H$
も反射係数の符号の違いに注意して同様に求めると，
\begin{eqnarray}
C_H
&=& \int _{S_0} \left| {\VEC{H}_t^{(1)}}'- {\VEC{H}_t^{(2)}}' \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& \int _{S_0} \Big| \sum_m^{N_1}
\left( \delta_{mk} - R_{mk} \right) \overline{\VEC{h}}_m^{(1)}
- \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{h}}_m^{(2)} \Big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \Big( 1 \ \ -\big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
p_{h0} \Big| _{S_0} & \big(p_{11}^h \big)_{S_0} & -\big(p_{12}^h \big)_{S_0} \\
\big(p_{11}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{H} \Big]_{S_0} \\
-\big(p_{12}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ -\big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
p_{h0} \Big| _{S_0} & -\big(p_{11}^h \big)_{S_0} & -\big(p_{12}^h \big)_{S_0} \\
-\big(p_{11}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0} & \Big[ P_{12}^{H} \Big]_{S_0} \\
-\big(p_{12}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで$(i,i' = 1,2)$，
\begin{eqnarray}
p_{h0} \Big| _{S_0}
&\equiv& \int _{S_0} \left| \overline{\VEC{h}}_k^{(1)} \right|^2 dS
\nonumber \\
&=& c_h = c_h^*
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\big( p_{1i'}^h \big)_{S_0} =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\end{pmatrix}
\end{gather}
\begin{gather}
\Big[ P_{ii'}^H \Big]_{S_0} =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\\
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} &
\cdots &
\displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS}
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\Big[ P_{11}^{H} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0}
\\
\Big[ P_{22}^{H} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0}
\end{gather}
さらに，
\begin{align}
&\Big( \alpha \Big) \equiv
\begin{pmatrix}
\big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\\
&\big( \alpha \big)^*_T \equiv
\Big( \big(R_k \big)^*_T \ \ \big(T_k \big)^*_T \Big)
\\
&\big( p_e^k \big) \equiv \Big( \big(p_{11}^e \big)_{S_0+S_1} \ \ -\big(p_{12}^e \big)_{S_0} \Big)
\\
&\big( p_h^k \big) \equiv \Big( \big(p_{11}^h \big)_{S_0} \ \ \big(p_{12}^h \big)_{S_0} \Big)
\\
&\Big[ P_E^k \Big] \equiv
\begin{pmatrix}
\Big[ P_{11}^E \Big]_{S_0+S_1} & -\Big[ P_{12}^E \Big]_{S_0} \\
-\Big[ P_{12}^E \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^E \Big]_{S_0+S_2} \\
\end{pmatrix}
= \Big[ P_E^k \Big]^*_T
\\
&\Big[ P_H^k \Big] \equiv
\begin{pmatrix}
\Big[ P_{11}^H \Big]_{S_0} & \Big[ P_{12}^H \Big]_{S_0} \\
\Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^H \Big]_{S_0} \\
\end{pmatrix}
= \Big[ P_H^k \Big]^*_T
\end{align}
とおくと，
\begin{eqnarray}
C_E
&=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
c_e & \big( p_e^k \big) \\
\big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \Big( \alpha \Big) \\
\end{pmatrix} \\
C_H
&=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
c_h & -\big( p_h^k \big) \\
-\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \Big( \alpha \Big) \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
F
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{C_E}{c_e} + \frac{C_H}{c_h} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big)
\left\{ \frac{1}{c_e}
\begin{pmatrix}
c_e & \big( p_e^k \big) \\
\big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\
\end{pmatrix} \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{c_h}
\begin{pmatrix}
c_h & -\big( p_h \big)_k \\
-\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\
\end{pmatrix} \right\}
\begin{pmatrix}
1 \\ \Big( \alpha \Big) \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\frac{1}{2} \left( \frac{c_e}{c_e} + \frac{c_h}{c_h} \right) = 1
\end{gather}
また，
\begin{align}
&(u^k)
\equiv \frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{c_e} \big( p_e^k \big) + \frac{1}{c_h} \big( p_h^k \big) \right\}
\\
&\Big[ U^k \Big]
\equiv \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{c_e} \Big[ P_E^k \Big] + \frac{1}{c_h} \Big[ P_H^k \Big] \right\}
= \Big[ U^k \Big]^*_T
\end{align}
とおくと，
\begin{eqnarray}
F
&=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big)
\begin{pmatrix}
1 & -\big( u^k \big) \\
-\big( u^k \big)^*_T & \Big[ U^k \Big] \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ \Big( \alpha \Big) \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& 1
- (u^k) \Big( \alpha \Big)
- \big( \alpha \big)^*_T \big( u^k \big)^*_T
+ (\alpha )^*_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)
\nonumber \\
&=& 1
- (u^k) \Big( \alpha \Big)
- (u^k)^* \Big( \alpha \Big)^*
+ (\alpha)_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)^*
\end{eqnarray}
さらに，$F = F ^*$より，
\begin{eqnarray}
F
&=& \left\{ 1
- (u^k) \Big( \alpha \Big)
- (u^k)^* \Big( \alpha \Big)^*
+ (\alpha)_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)^* \right\}^*
\nonumber \\
&=& 1
- (u^*)_k \Big( \alpha^* \Big)
- (u)_k \Big( \alpha \Big)
+ (\alpha )^*_T \Big[ U^k \Big]^* \Big( \alpha \Big)
\end{eqnarray}
なお，行列
$\Big[ P_E^k \Big]$，$\Big[ P_H^k \Big]$
の第$m$行$n$列要素を各々
$P_{E,mn}^k$，$P_{H,mn}^k$
とすると，行列
$\Big[ U^k \Big]$
の第$m$行$n$列要素
$U_{mn}^k$
は，
$c_e = P_{E,kk}$，$c_h = P_{H,kk}$
より，
\begin{align}
&U_{mn}^k = \frac{1}{2} \left( \frac{P_{E,mn}}{P_{E,kk}} + \frac{P_{H,mn}}{P_{H,kk}} \right)
= U_{nm}^{k*}
\\
&u_n^k = \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,kn}}{P_{E,kk}} + \frac{P_{H,kn}}{P_{H,kk}} \right)
\end{align}
また，
$(u^k)$
の共役転置ベクトル
$(u^k)^*_T$
の第$n$列要素$u_n^{k*}$は，
$\Big[ P_E^k \Big] = \Big[ P_E^k \Big]^*_T$，
$\Big[ P_H^k \Big] = \Big[ P_H^k \Big]^*_T$
より，
\begin{eqnarray}
u_n^{k*}
&=& \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,kn}^*}{P_{E,kk}^*}
+ \frac{P_{H,kn}^*}{P_{H,kk}^*} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,nk}}{P_{E,kk}}
+ \frac{P_{H,nk}}{P_{H,kk}} \right)
\end{eqnarray}
エルミート2次形式
入射波について $\alpha_0 =1$ として，
\begin{align}
&\VECi{x} \equiv
\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{x}^*_T \equiv
\Big( \alpha_0^* \ \ \big(R_k \big)^*_T \ \ \big(T_k \big)^*_T \Big)
\end{align}
を新たに定義し，
\begin{eqnarray}
\Big[ Q_E^k \Big] &\equiv&
\begin{pmatrix}
c_e & \big( p_e^k \big) \\
\big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\
\end{pmatrix}
= \Big[ Q_E^k \Big]^*_T
\\
\Big[ Q_H^k \Big] &\equiv&
\begin{pmatrix}
c_h & -\big( p_h^k \big) \\
-\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\
\end{pmatrix}
= \Big[ Q_H^k \Big]^*_T
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\Big[ V^k \Big] \equiv
\begin{pmatrix}
1 & -\big( u^k \big) \\
-\big( u^k \big)^*_T & \Big[ U^k \Big] \\
\end{pmatrix}
= \Big[ V^k \Big]^*_T
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
C_E = \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x}
\end{gather}
複素共役は，
\begin{eqnarray}
C_E^*
&=& \Big\{ \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x} \Big\}^*
\nonumber \\
&=& \VECi{x}_T \Big[ Q_E^k \Big]^* \VECi{x}^*
\nonumber \\
&=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big]^*_T \VECi{x}
\nonumber \\
&=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
C_E^* = C_E
\end{gather}
同様にして，
\begin{eqnarray}
C_H^*
&=& \Big\{ \VECi{x}^*_T \Big[ Q_H^k \Big] \VECi{x} \Big\}^*
\nonumber \\
&=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_H^k \Big] \VECi{x}
\nonumber \\
&=& C_H
\end{eqnarray}
いま，
\begin{gather}
\Big[ W \Big] \equiv
\begin{pmatrix}
1 & \big( \ 0 \ \big) \\
\big( \ 0 \ \big)_T & \Big[ \ 0 \ \Big] \\
\end{pmatrix}
= \Big[ W \Big]^*_T
\end{gather}
を定義すると，$F$ は次のようになる．
\begin{gather}
F
= \frac{\VECi{x}^*_T \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{
\VECi{x}^*_T \Big[ W \Big] \VECi{x}}
\end{gather}
ただし，$ \Big[ V \Big]_k$，$ \Big[ W \Big]$はエルミート行列である．
したがって，
\begin{gather}
F^*
= \left\{ \frac{\VECi{x}^*_T \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{
\VECi{x}^*_T \Big[ W \Big] \VECi{x}} \right\}^*
= \frac{\VECi{x}_T \Big[ V^k \Big]^* \VECi{x}^*}{
\VECi{x}_T \Big[ W \Big] \VECi{x}^*}
= \frac{\VECi{x}_T^* \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{
\VECi{x}_T^* \Big[ W \Big] \VECi{x}}
= F
\end{gather}
このように相対2乗平均誤差 $F$ は，エルミート2次形式の比で表される.