7.10 最小2乗法によるモード整合法

不連続部のある導波路

 異なる2つの一様導波路が接続された不連続部を考え,導波路軸方向を$z$軸,不連続部を $z=0$ にとる. $z \leq 0$ の導波路 #1および $z \geq 0$ の導波路 #2の位置ベクトル $\VEC{r} = z\VEC{a}_z+ \VECi{\rho}$ ($\VEC{a}_z$は$z$方向の単位ベクトル)における横断面内の電界 $\VEC{E}_t^{(1)}$,$\VEC{E}_t^{(2)}$, および磁界 $\VEC{H}_t^{(1)}$,$\VEC{H}_t^{(2)}$は,不連続部における入射ルート電力波を $a_{i,n}$, 反射ルート電力波を $b_{i,n}$ とすると($i=1,2$は導波路 #1, #2に対応,$n$はモードの次数), \begin{gather} \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z) = \sum_n \left( a_n^{(1)} e^{-\gamma_n^{(1)}z} + b_n^{(1)} e^{\gamma_n^{(1)}z} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z) = \sum_n \left( b_n^{(2)} e^{-\gamma_n^{(2)}z} + a_n^{(2)} e^{\gamma_n^{(2)}z} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \end{gather} また,横断面内磁界$\VEC{H}_t^{(1)}$,$\VEC{H}_t^{(2)}$は, \begin{gather} \VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z) = \sum_n \left( a_n^{(1)} e^{-\gamma_n^{(1)}z} - b_n^{(1)} e^{\gamma_n^{(1)}z} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z) = \sum_n \left( b_n^{(2)} e^{-\gamma_n^{(2)}z} - a_n^{(2)} e^{\gamma_n^{(2)}z} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \end{gather} ここで, \begin{eqnarray} \overline{\VEC{e}}_n^{(i)}(\VECi{\rho}) &=& \sqrt{Z_n^{(i)}} \VEC{e}_n^{(i)}(\VECi{\rho}) \\ \overline{\VEC{h}}_n^{(i)}(\VECi{\rho}) &=& \sqrt{Y_n^{(i)}} \VEC{h}_n^{(i)}(\VECi{\rho}) \nonumber \\ &=& Y_n^{(i)} \VEC{a}_z \times \overline{\VEC{e}}_n^{(i)}(\VECi{\rho}) \end{eqnarray} ただし, $\overline{\VEC{e}}_n^{(i)}$,$\overline{\VEC{h}}_n^{(i)} \ (i=1,2)$ は導波路 #1, #2における電界および磁界のモード関数(電力で規格化)を示し,複素の2次元ベクトルである.また, $Z_n^{(i)}$,$Y_n^{(i)}$ は $n$ 次モードの波動インピーダンスおよび波動アドミタンスを示す.このとき, $|a_n^{(i)}|^2$,$|b_n^{(i)}|^2$ は伝搬モードの場合は電力波であるが,遮断モードの場合は電力波を意味しない, いわゆる共役整合を基にした一般化散乱行列とは異なるもので,全モードの縦続接続を行うための散乱行列である.

不連続部の境界条件

 不連続部が開口面$S_0$,および (完全)導体面$S_1$(導波路 #1側), $S_2$(導波路 #2側)からなる場合,境界条件は次のようになる. \begin{eqnarray} \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0) &=& \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0) \ \ \ \ (\mbox{開口面}S_0) \\ \VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0) &=& \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0) \ \ \ \ (\mbox{開口面}S_0) \\ \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0) &=& 0 \ \ \ \ (\mbox{導体面}S_1) \\ \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0) &=& 0 \ \ \ \ (\mbox{導体面}S_2) \end{eqnarray} ここで, \begin{gather} \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0) = \sum_n \left( a_n^{(1)} + b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0) = \sum_n \left( b_n^{(2)} + a_n^{(2)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0) = \sum_n \left( a_n^{(1)} - b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0) = \sum_n \left( b_n^{(2)} - a_n^{(2)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \end{gather} これより,散乱行列$[S]$は, \begin{gather} \begin{pmatrix} \VECi{b}_1 \\ \VECi{b}_2 \\ \end{pmatrix} = \Big[ S \Big] \begin{pmatrix} \VECi{a}_1 \\ \VECi{a}_2 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \Big[ S \Big] = \begin{pmatrix} \big[ S_{11} \big] & \big[ S_{12} \big] \\ \big[ S_{21} \big] & \big[ S_{22} \big] \\ \end{pmatrix} \end{gather} ここで, \begin{gather} \VECi{a}_i = \begin{pmatrix} a_1^{(i)} \\ a_2^{(i)} \\ \vdots \\ a_n^{(i)} \\ \vdots \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \VECi{b}_i = \begin{pmatrix} b_1^{(i)} \\ b_2^{(i)} \\ \vdots \\ b_n^{(i)} \\ \vdots \end{pmatrix} \ \ \ \ (i=1,2) \end{gather} 散乱行列は, \begin{gather} [S_{i i'}] = \begin{pmatrix} S_{ii',11} & S_{ii',12} & \cdots & S_{ii',1n} & \cdots \\ S_{ii',21} & S_{ii',22} & \cdots & S_{ii',2n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ S_{ii',m1} & S_{ii',m2} & \cdots & S_{ii',mn} & \cdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \end{gather}

単一モード入射の場合

 導波路 #1 ($z \leq 0$)より 一つの $k$ 次モードだけが不連続部に入射波する場合($a_k^{(1)} \neq 0$)を考えると, それ以外に入射波がないことから $a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0$ とおき, \begin{eqnarray} \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0) &=& \sum_n \left( a_n^{(1)} \delta_{nk} + b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{e}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0) &=& \sum_n b_n^{(2)} \overline{\VEC{e}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0) &=& \sum_n \left( a_n^{(1)} \delta_{nk} - b_n^{(1)} \right) \overline{\VEC{h}}_n^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0) &=& \sum_n b_n^{(2)} \overline{\VEC{h}}_n^{(2)}(\VECi{\rho}) \end{eqnarray} 散乱パラメータは, \begin{eqnarray} S_{11,mk} &=& \left. \frac{b_m^{(1)}}{a_k^{(1)}} \right| _{a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0} \\ S_{21,mk} &=& \left. \frac{b_m^{(2)}}{a_k^{(1)}} \right| _{a_{n \neq k}^{(1)} =0, \ a_n^{(2)} = 0} \end{eqnarray} これより,境界条件の式は散乱行列要素を用いて次のように表すことができる. \begin{align} &\sum_m \left( \delta_{mk} + S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) = \sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) \ \ \ (\mbox{on} \ S_0) \\ &\sum_m \left( \delta_{mk} - S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{h}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) = \sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{h}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) \ \ \ (\mbox{on} \ S_0) \\ &\sum_m \left( \delta_{mk} + S_{11,mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) = 0 \ \ \ (\mbox{on} \ S_1) \\ &\sum_m S_{21,mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) = 0 \ \ \ (\mbox{on} \ S_2) \end{align} 同様にして, $S_{12,mk}$,$S_{22,mk}$ に関する式も得られ,ここでは,導波路 #1, #2におけるモードの展開項数を $N_1, \ N_2$ と有限で打ち切った次のような分布を考え,このときの反射係数を $R_{mk} \equiv S_{11,mk}$, 透過係数を $T_{mk} \equiv S_{21,mk}$ とおくと, $z=0$ の境界面での横断面内電磁界は, \begin{eqnarray} {\VEC{E}_t^{(1)}}' (\VECi{\rho}) &\equiv& \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} + R_{mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ {\VEC{E}_t^{(2)}}' (\VECi{\rho}) &\equiv& \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) \\ {\VEC{H}_t^{(1)}}' (\VECi{\rho}) &\equiv& \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} - R_{mk} \right) \overline{\VEC{h}}_m^{(1)}(\VECi{\rho}) \\ {\VEC{H}_t^{(2)}}' (\VECi{\rho}) &\equiv& \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{h}}_m^{(2)}(\VECi{\rho}) \end{eqnarray}

導波路 #1からの入射したときの相対2乗平均誤差

 境界面($z=0$)における相対2乗平均誤差 $F$ を次のように定義する. \begin{gather} F = \frac{1}{2} \left( \frac{C_E}{c_e} + \frac{C_H}{c_h} \right) \end{gather} ここで, \begin{eqnarray} C_E &=& \int _{S_0} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}'- {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \nonumber \\ &&+ \int _{S_1} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}' \right|^2 dS + \int _{S_2} \left| {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \\ C_H &=& \int _{S_0} \left| {\VEC{H}_t^{(1)}}'- {\VEC{H}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \end{eqnarray} また, \begin{align} &c_e = \int _{S_0+S_1} \left| \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \right|^2 dS %= |Z_k^r| \int_{S_r} \VEC{e}_k^r \cdot \VEC{e}_k^r dS %= |Z_k^r| \\ &c_h = \int _{S_0} \left| \overline{\VEC{h}}_k^{(1)} \right|^2 dS %= Y_k^{r*} \sqrt{|Z_k^r|} Y_k^r \sqrt{|Z_k^r|} \int_{S_r} \VEC{h}_k^r \cdot \VEC{h}_k^r dS %= |Y_k^r| \end{align} 相対2乗平均誤差 $F$ の$C_E$の第1項を$C_{E1}$とおき,整理すると次のようになる. \begin{eqnarray} C_{E1} &=& \int _{S_0} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}'- {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \nonumber \\ &=& \int _{S_0} \Big| \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} + R_{mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)} - \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \Big|^2 dS \nonumber \\ &=& \int _{S_0} \Big\{ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} + \sum_m^{N_1} R_{mk} \overline{\VEC{e}}_m^{(1)} + \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \big( -\overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \big) \Big\} ^* \nonumber \\ && \cdot \Big\{ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} + \sum_n^{N_1} R_{nk} \overline{\VEC{e}}_n^{(1)} + \sum_n^{N_2} T_{nk} \ \big( -\overline{\VEC{e}}_n^{(2)} \big) \Big\} dS \nonumber \\ &=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \int _{S_0} \begin{pmatrix} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \\ \big({\overline{\VEC{e}}^{(1)}} \big)^*_T \\ -\big({\overline{\VEC{e}}^{(2)}} \big)^*_T \\ \end{pmatrix} \nonumber \\ &&\cdot \Big( \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \ \ \big(\overline{\VEC{e}}^{(1)}\big) \ \ -\big(\overline{\VEC{e}}^{(2)}\big) \Big) \ dS \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} ここで, \begin{gather} \big(\overline{\VEC{e}}^{(i)}\big) = \big( \overline{\VEC{e}}_1^{(i)} \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(i)} \ \ \cdots \ \ \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)} \big) \ \ \ \ \ (i=1,2) \end{gather} また, \begin{gather} \big(R_k\big) = \begin{pmatrix} R_{1k} \\ R_{2k} \\ \vdots \\ R_{N_1k} \\ \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \big(T_k\big) = \begin{pmatrix} T_{1k} \\ T_{2k} \\ \vdots \\ T_{N_2k} \\ \end{pmatrix} \end{gather} ただし, $\big({\overline{\VEC{e}}^{(i)}} \big)^*_T$, $\big(R_k \big)^*_T$, $\big(T_k \big)^*_T$ は各々 $\big(\overline{\VEC{e}}^{(i)}\big)$, $\big(R_k\big)$, $\big(T_k\big)$ の共役転置行列を示す.このとき,モード関数のスカラー積の項については, \begin{gather} \left( \begin{array}{c|cccccc} \ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} & \cdots \ \ & -\overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} & -\overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} & \cdots \\ \\ \hline \\ \ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} & \cdots \ \ & -\overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} & -\overline{\VEC{e}}_1^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} & \cdots \\ \\ \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} & \cdots \ \ & -\overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} & -\overline{\VEC{e}}_2^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} & \cdots \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \ & \vdots & \vdots & \ddots \\ \\ -\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} & -\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} & -\overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} & \cdots \ \ & \ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_1^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} & \cdots \\ \\ -\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} & -\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(1)} & -\overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(1)} & \cdots \ \ & \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(2)} & \ \ \overline{\VEC{e}}_2^{(2)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(2)} & \cdots \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \ & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) \nonumber \end{gather} いま,積分項 \begin{gather} \int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_m^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_n^{(i')} dS \ \ \ \ \ (i,i' =1,2) \end{gather} について行列表示すると, \begin{gather} C_{E1} = \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} p_{e0} \Big| _{S_0} & \big(p_{11}^e \big) \Big| _{S_0} & -\big(p_{12}^e \big) \Big| _{S_0} \\ \big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]_{S_0} \\ -\big(p_{12}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \end{gather} ここで$(i,i' = 1,2)$, \begin{gather} p_{e0} \Big| _{S_0} = \int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} dS = p_{e0}^* \Big| _{S_0} \end{gather} また, \begin{gather} \big( p_{1i'}^e \big)_{S_0} = \begin{pmatrix} \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \end{pmatrix} \\% \hspace{-6.6mm} \Big[ P_{ii'}^E \Big]_{S_0} = \begin{pmatrix} \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \\ \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{e}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{e}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \end{pmatrix} \end{gather} ただし, \begin{gather} \Big[ P_{11}^{E}\Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0} \\ \Big[ P_{22}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0} \end{gather} $C_E$の第2項$C_{E2}$および第3項$C_{E3}$も同様にして整理すると, \begin{eqnarray} C_{E2} &=& \int _{S_1} \left| {\VEC{E}_t^{(1)}}' \right|^2 dS \nonumber \\ &=& \int _{S_1} \Big| \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} + R_{mk} \right) \overline{\VEC{e}}_m^{(1)} \Big|^2 dS \nonumber \\ &=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} p_{e0} \Big| _{S_1} & \big(p_{11}^e \big)_{S_1} & \big( ~0~ \big) \\ \big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_1} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_1} & \Big[ ~0~ \Big] \\ \big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ ~0~ \Big] \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \\ C_{E3} &=& \int _{S_2} \left| {\VEC{E}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \nonumber \\ &=& \int _{S_2} \Big| \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{e}}_m^{(2)} \Big|^2 dS \nonumber \\ &=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} 0 & \big( ~0~ \big) & \big( ~0~ \big) \\ \big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ ~0~ \Big] \\ \big( ~0~ \big) & \Big[ ~0~ \Big] & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} したがって,$C_E= C_{E1} + C_{E2} + C_{E3}$は, \begin{gather} C_E &=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} p_{e0} \Big| _{S_0+S_1} & \big(p_{11}^e \big)_{S_0+S_1} & -\big(p_{12}^e \big)_{S_0} \\ \big(p_{11}^e \big)^*_T \Big|_{S_0+S_1} & \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0+S_1} & -\Big[ P_{12}^{E} \Big]_{S_0} \\ -\big(p_{12}^e \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^E \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0+S_2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \end{gather} ここで, \begin{eqnarray} p_{e0} \Big|_{S_0+S_1} &=& \int _{S_0+S_1} \left| \overline{\VEC{e}}_k^{(1)} \right|^2 dS \nonumber \\ &=& c_e = c_e^* \end{eqnarray} また, \begin{gather} \Big[ P_{11}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0+S_1} = \Big[ P_{11}^{E} \Big]_{S_0+S_1} \\ \Big[ P_{22}^{E} \Big]^*_T \Big|_{S_0+S_2} = \Big[ P_{22}^{E} \Big]_{S_0+S_2} \end{gather} ただし,積分範囲$(S_0+S_1)$は導波路 #1 の断面全体, $(S_0+S_2)$は導波路 #2 の断面全体である. そして, $C_H$ も反射係数の符号の違いに注意して同様に求めると, \begin{eqnarray} C_H &=& \int _{S_0} \left| {\VEC{H}_t^{(1)}}'- {\VEC{H}_t^{(2)}}' \right|^2 dS \nonumber \\ &=& \int _{S_0} \Big| \sum_m^{N_1} \left( \delta_{mk} - R_{mk} \right) \overline{\VEC{h}}_m^{(1)} - \sum_m^{N_2} T_{mk} \ \overline{\VEC{h}}_m^{(2)} \Big|^2 dS \nonumber \\ &=& \Big( 1 \ \ -\big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} p_{h0} \Big| _{S_0} & \big(p_{11}^h \big)_{S_0} & -\big(p_{12}^h \big)_{S_0} \\ \big(p_{11}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0} & -\Big[ P_{12}^{H} \Big]_{S_0} \\ -\big(p_{12}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & -\Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -\big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& \Big( 1 \ \ \big(R_k\big)^*_T \ \ \big(T_k\big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} p_{h0} \Big| _{S_0} & -\big(p_{11}^h \big)_{S_0} & -\big(p_{12}^h \big)_{S_0} \\ -\big(p_{11}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0} & \Big[ P_{12}^{H} \Big]_{S_0} \\ -\big(p_{12}^h \big)^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} ここで$(i,i' = 1,2)$, \begin{eqnarray} p_{h0} \Big| _{S_0} &\equiv& \int _{S_0} \left| \overline{\VEC{h}}_k^{(1)} \right|^2 dS \nonumber \\ &=& c_h = c_h^* \end{eqnarray} また, \begin{gather} \big( p_{1i'}^h \big)_{S_0} = \begin{pmatrix} \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_k^{(1)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \end{pmatrix} \end{gather} \begin{gather} \Big[ P_{ii'}^H \Big]_{S_0} = \begin{pmatrix} \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_1^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \\ \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_2^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_1^{(i')} dS} & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_2^{(i')} dS} & \cdots & \displaystyle{\int_{S_0} \overline{\VEC{h}}_{N_i}^{(i)*} \cdot \overline{\VEC{h}}_{N_{i'}}^{(i')} dS} \end{pmatrix} \end{gather} ただし, \begin{gather} \Big[ P_{11}^{H} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{11}^{H} \Big]_{S_0} \\ \Big[ P_{22}^{H} \Big]^*_T \Big|_{S_0} = \Big[ P_{22}^{H} \Big]_{S_0} \end{gather} さらに, \begin{align} &\Big( \alpha \Big) \equiv \begin{pmatrix} \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \\ &\big( \alpha \big)^*_T \equiv \Big( \big(R_k \big)^*_T \ \ \big(T_k \big)^*_T \Big) \\ &\big( p_e^k \big) \equiv \Big( \big(p_{11}^e \big)_{S_0+S_1} \ \ -\big(p_{12}^e \big)_{S_0} \Big) \\ &\big( p_h^k \big) \equiv \Big( \big(p_{11}^h \big)_{S_0} \ \ \big(p_{12}^h \big)_{S_0} \Big) \\ &\Big[ P_E^k \Big] \equiv \begin{pmatrix} \Big[ P_{11}^E \Big]_{S_0+S_1} & -\Big[ P_{12}^E \Big]_{S_0} \\ -\Big[ P_{12}^E \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^E \Big]_{S_0+S_2} \\ \end{pmatrix} = \Big[ P_E^k \Big]^*_T \\ &\Big[ P_H^k \Big] \equiv \begin{pmatrix} \Big[ P_{11}^H \Big]_{S_0} & \Big[ P_{12}^H \Big]_{S_0} \\ \Big[ P_{12}^H \Big]^*_T \Big|_{S_0} & \Big[ P_{22}^H \Big]_{S_0} \\ \end{pmatrix} = \Big[ P_H^k \Big]^*_T \end{align} とおくと, \begin{eqnarray} C_E &=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} c_e & \big( p_e^k \big) \\ \big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \Big( \alpha \Big) \\ \end{pmatrix} \\ C_H &=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} c_h & -\big( p_h^k \big) \\ -\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \Big( \alpha \Big) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} よって, \begin{eqnarray} F &=& \frac{1}{2} \left( \frac{C_E}{c_e} + \frac{C_H}{c_h} \right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big) \left\{ \frac{1}{c_e} \begin{pmatrix} c_e & \big( p_e^k \big) \\ \big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\ \end{pmatrix} \right. \nonumber \\ &&\left. + \frac{1}{c_h} \begin{pmatrix} c_h & -\big( p_h \big)_k \\ -\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\ \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} 1 \\ \Big( \alpha \Big) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} ここで, \begin{gather} \frac{1}{2} \left( \frac{c_e}{c_e} + \frac{c_h}{c_h} \right) = 1 \end{gather} また, \begin{align} &(u^k) \equiv \frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{c_e} \big( p_e^k \big) + \frac{1}{c_h} \big( p_h^k \big) \right\} \\ &\Big[ U^k \Big] \equiv \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{c_e} \Big[ P_E^k \Big] + \frac{1}{c_h} \Big[ P_H^k \Big] \right\} = \Big[ U^k \Big]^*_T \end{align} とおくと, \begin{eqnarray} F &=& \Big( 1 \ \ \big( \alpha \big)^*_T \Big) \begin{pmatrix} 1 & -\big( u^k \big) \\ -\big( u^k \big)^*_T & \Big[ U^k \Big] \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \Big( \alpha \Big) \\ \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& 1 - (u^k) \Big( \alpha \Big) - \big( \alpha \big)^*_T \big( u^k \big)^*_T + (\alpha )^*_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big) \nonumber \\ &=& 1 - (u^k) \Big( \alpha \Big) - (u^k)^* \Big( \alpha \Big)^* + (\alpha)_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)^* \end{eqnarray} さらに,$F = F ^*$より, \begin{eqnarray} F &=& \left\{ 1 - (u^k) \Big( \alpha \Big) - (u^k)^* \Big( \alpha \Big)^* + (\alpha)_T \Big[ U^k \Big] \Big( \alpha \Big)^* \right\}^* \nonumber \\ &=& 1 - (u^*)_k \Big( \alpha^* \Big) - (u)_k \Big( \alpha \Big) + (\alpha )^*_T \Big[ U^k \Big]^* \Big( \alpha \Big) \end{eqnarray} なお,行列 $\Big[ P_E^k \Big]$,$\Big[ P_H^k \Big]$ の第$m$行$n$列要素を各々 $P_{E,mn}^k$,$P_{H,mn}^k$ とすると,行列 $\Big[ U^k \Big]$ の第$m$行$n$列要素 $U_{mn}^k$ は, $c_e = P_{E,kk}$,$c_h = P_{H,kk}$ より, \begin{align} &U_{mn}^k = \frac{1}{2} \left( \frac{P_{E,mn}}{P_{E,kk}} + \frac{P_{H,mn}}{P_{H,kk}} \right) = U_{nm}^{k*} \\ &u_n^k = \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,kn}}{P_{E,kk}} + \frac{P_{H,kn}}{P_{H,kk}} \right) \end{align} また, $(u^k)$ の共役転置ベクトル $(u^k)^*_T$ の第$n$列要素$u_n^{k*}$は, $\Big[ P_E^k \Big] = \Big[ P_E^k \Big]^*_T$, $\Big[ P_H^k \Big] = \Big[ P_H^k \Big]^*_T$ より, \begin{eqnarray} u_n^{k*} &=& \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,kn}^*}{P_{E,kk}^*} + \frac{P_{H,kn}^*}{P_{H,kk}^*} \right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \left( -\frac{P_{E,nk}}{P_{E,kk}} + \frac{P_{H,nk}}{P_{H,kk}} \right) \end{eqnarray}

エルミート2次形式

 入射波について $\alpha_0 =1$ として, \begin{align} &\VECi{x} \equiv \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \big(R_k\big) \\ \big(T_k\big) \\ \end{pmatrix} \\ &\VECi{x}^*_T \equiv \Big( \alpha_0^* \ \ \big(R_k \big)^*_T \ \ \big(T_k \big)^*_T \Big) \end{align} を新たに定義し, \begin{eqnarray} \Big[ Q_E^k \Big] &\equiv& \begin{pmatrix} c_e & \big( p_e^k \big) \\ \big( p_e^k \big)^*_T & \Big[ P_E^k \Big] \\ \end{pmatrix} = \Big[ Q_E^k \Big]^*_T \\ \Big[ Q_H^k \Big] &\equiv& \begin{pmatrix} c_h & -\big( p_h^k \big) \\ -\big( p_h^k \big)^*_T & \Big[ P_H^k \Big] \\ \end{pmatrix} = \Big[ Q_H^k \Big]^*_T \end{eqnarray} また, \begin{gather} \Big[ V^k \Big] \equiv \begin{pmatrix} 1 & -\big( u^k \big) \\ -\big( u^k \big)^*_T & \Big[ U^k \Big] \\ \end{pmatrix} = \Big[ V^k \Big]^*_T \end{gather} とおくと, \begin{gather} C_E = \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x} \end{gather} 複素共役は, \begin{eqnarray} C_E^* &=& \Big\{ \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x} \Big\}^* \nonumber \\ &=& \VECi{x}_T \Big[ Q_E^k \Big]^* \VECi{x}^* \nonumber \\ &=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big]^*_T \VECi{x} \nonumber \\ &=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_E^k \Big] \VECi{x} \end{eqnarray} よって, \begin{gather} C_E^* = C_E \end{gather} 同様にして, \begin{eqnarray} C_H^* &=& \Big\{ \VECi{x}^*_T \Big[ Q_H^k \Big] \VECi{x} \Big\}^* \nonumber \\ &=& \VECi{x}^*_T \Big[ Q_H^k \Big] \VECi{x} \nonumber \\ &=& C_H \end{eqnarray} いま, \begin{gather} \Big[ W \Big] \equiv \begin{pmatrix} 1 & \big( \ 0 \ \big) \\ \big( \ 0 \ \big)_T & \Big[ \ 0 \ \Big] \\ \end{pmatrix} = \Big[ W \Big]^*_T \end{gather} を定義すると,$F$ は次のようになる. \begin{gather} F = \frac{\VECi{x}^*_T \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{ \VECi{x}^*_T \Big[ W \Big] \VECi{x}} \end{gather} ただし,$ \Big[ V \Big]_k$,$ \Big[ W \Big]$はエルミート行列である. したがって, \begin{gather} F^* = \left\{ \frac{\VECi{x}^*_T \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{ \VECi{x}^*_T \Big[ W \Big] \VECi{x}} \right\}^* = \frac{\VECi{x}_T \Big[ V^k \Big]^* \VECi{x}^*}{ \VECi{x}_T \Big[ W \Big] \VECi{x}^*} = \frac{\VECi{x}_T^* \Big[ V^k \Big] \VECi{x}}{ \VECi{x}_T^* \Big[ W \Big] \VECi{x}} = F \end{gather} このように相対2乗平均誤差 $F$ は,エルミート2次形式の比で表される.