7.1 エルミート形式
エルミート行列
複素数の$N \times N$行列 $[A]$
\begin{gather}
[A] \equiv
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{N1} & A_{N2} & \cdots & A_{NN} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
の要素が $A_{mn}=A_{nm}^*$（共役転置）のとき，
$[A]=[A]^*_T$ が成り立ち，$[A]$ をエルミート行列（Hermitian matrix）という．ただし，添字$T$は転置行列，肩文字$*$は複素共役を示す．
エルミート形式
$\VECi{\alpha}$
を$N$要素からなる複素の列ベクトル（あるいは列マトリクスともいう）とし，
$\VECi{\alpha}^*_T$
を列ベクトル
$\VECi{\alpha}$
の複素共役（complex conjugate）の転置行列（transpose matrix）
\begin{gather}
\VECi{\alpha} \equiv
\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_N \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{\alpha}^*_T \equiv
\Big( \alpha _1^* \ \ \alpha _2^* \ \ \cdots \ \ \alpha_N^* \Big)
\end{gather}
として次式を考える．
\begin{eqnarray}
H
&=& \VECi{\alpha}^*_T [A] \VECi{\alpha}
\nonumber \\
&=& \Big( \alpha _1^* \ \ \alpha _2^* \ \ \cdots \ \ \alpha_N^* \Big)
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{N1} & A_{N2} & \cdots & A_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_N \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
H &=& \VECi{\alpha}^*_T [A] \VECi{\alpha}
\nonumber \\
&=& \sum_{m,n=1}^N \alpha_m^* A_{mn} \alpha_n
\label{eq:MoM-10-1}
\end{eqnarray}
上式を要素毎の計算式で表し，
$A_{mn}=A_{nm}^*$
を代入して，さらに$m$，$n$を交換し，要素を入れ替えると，
\begin{eqnarray}
H &=& \sum_{m,n=1}^N \alpha_m^* A_{mn} \alpha_n
\nonumber \\
&=& \sum_{m,n=1}^N \alpha_m^* A_{nm}^* \alpha_n
\nonumber \\
&=& \sum_{n,m=1}^N \alpha_n^* A_{mn}^* \alpha_m
\nonumber \\
&=& \sum_{m,n=1}^N \alpha_m A_{mn}^* \alpha_n^*
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}_T [F]^* \VECi{\alpha}^*
\nonumber \\
&=& \Big( \VECi{\alpha}^*_T [F] \VECi{\alpha} \Big)^*
\nonumber \\
&=& H^*
\end{eqnarray}
ただし，$H^*$は$H$の複素共役である．このように
$H = H^*$
が成り立てば，
$H$は全ての
$\alpha$
に対して実数であるといえる．このような
$H$
をエルミート形式 (Hermitian form) という．
エルミート行列の全ての固有値 (eigenvalues) は実数となる．なお，上式は
$\alpha_i$
に関する2次形式 (Quadratic form) になっており，このような
$H$
をエルミート2次形式 (Hermitian quadratic form) という．
エルミート作用素（Hermitian operator）
ドメイン $L$ における全ての関数 $f$ に対して，内積 (inner product)
\begin{gather}
H = \langle f^*, Lf \rangle
\label{eq:MoM-10-2}
\end{gather}
が実数であるとき，
$H$ をエルミート形式 (Hermitian form) という．このとき $L$ はエルミート作用素 (Hermitian operator) と呼ばれる．
この場合もエルミート作用素の全ての固有値（eigenvalues）は実数である．
いま，関数 $f$ を $N$ 個の項で展開して近似すると，
\begin{gather}
f \simeq \sum_{n=1}^N \alpha _n f_n
\label{eq:MoM-10-3}
\end{gather}
これを，式\eqref{eq:MoM-10-2}に代入して，
\begin{eqnarray}
H
&\simeq& \langle \left( \sum_{m=1}^N \alpha _m f_m \right)^*, L\left( \sum_{n=1}^N \alpha _n f_n \right) \rangle
\nonumber \\
&=& \sum_{m=1}^N \alpha _m^* \langle f_m^*, L\left( \sum_{n=1}^N \alpha _n f_n \right) \rangle
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
H
\simeq \sum_{m=1}^N \sum_{n=1}^N \alpha _m^* \alpha _n \langle f_m^*, L f_n \rangle
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
l_{mn} \equiv \langle f_m^*, L f_n \rangle
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
H &\simeq& \sum_{m,n=1}^N \alpha _m^* \alpha _n l_{mn}
\nonumber \\
&=& \Big( \alpha _1^* \ \ \alpha _2^* \ \ \cdots \ \ \alpha_N^* \Big)
\begin{pmatrix}
l_{11} & l_{12} & \cdots & l_{1N} \\
l_{21} & l_{22} & \cdots & l_{2N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
l_{N1} & l_{N2} & \cdots & l_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_N \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}^*_T [l] \VECi{\alpha}
\end{eqnarray}
エルミート作用素（Hermitian operator）$L$
より，
$[l]$
はエルミート行列である．よって，いかなる関数のエルミート形式も行列のエルミート形式（matrix Hermitian form）によって近似できる．
エルミート行列（Hermitian matrix），エルミート形式のまとめ
関数 $f$ を，有限個の関数 $f_m \ (m=0,1,2,\cdots, N)$ の線形結合（係数 $\alpha_m$）
\begin{gather}
f \simeq \sum_{m=0}^N \alpha _m f_m
\end{gather}
で近似できるとき，次の内積（inner product）を考える．
\begin{eqnarray}
H &=& \langle f^*, f \rangle
\nonumber \\
&=& \int f^* f \ dS
\nonumber \\
&\simeq& \int \left( \sum_{m=0}^N \alpha _m f_m \right)^*
\left( \sum_{n=0}^N \alpha _n f_n \right) dS
\nonumber \\
&=& \int \left( \sum_{m=0}^N \alpha _m^* f_m^* \right)
\left( \sum_{n=0}^N \alpha _n f_n \right) dS
\nonumber \\
&=& \sum_{m=0}^N \sum_{n=0}^N \alpha _m^* \alpha _n \int f_m^* f_n dS
\nonumber \\
&=& \sum_{m=0}^N \sum_{n=0}^N \alpha _m^* \alpha _n
\langle f_m^*, f_n \rangle
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
F_{mn} \equiv \langle f_m^*, f_n \rangle
\left( = \int f_m^* f_n \ dS
\right)
\end{gather}
とおき，また，
\begin{align}
&\VECi{\alpha} \equiv
\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_N \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{\alpha}^*_T \equiv
\Big( \alpha _0^* \ \ \alpha _1^* \ \ \cdots \ \ \alpha_N^* \Big)
\\
&[F] \equiv
\begin{pmatrix}
F_{00} & F_{01} & \cdots & F_{0N} \\
F_{10} & F_{11} & \cdots & F_{1N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
F_{N0} & F_{N1} & \cdots & F_{NN} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
ただし，
$\VECi{\alpha}^*_T$
は列ベクトル
$\VECi{\alpha}$
の複素共役（complex conjugate）の転置行列（transpose matrix）を示す．これより，
\begin{eqnarray}
H
&=& \langle f^*, f \rangle
\nonumber \\
&\simeq& \sum_{m=0}^N \sum_{n=0}^N \alpha _m^* \alpha _n F_{mn}
\nonumber \\
&=& \Big( \alpha _0^* \ \ \alpha _1^* \ \ \cdots \ \ \alpha_N^* \Big)
\begin{pmatrix}
F_{00} & F_{01} & \cdots & F_{0N} \\
F_{10} & F_{11} & \cdots & F_{1N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
F_{N0} & F_{N1} & \cdots & F_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_N \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}^*_T [F] \VECi{\alpha}
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
F_{nm}^* &=& \langle f_n^*, f_m \rangle ^*
\nonumber \\
&=& \langle f_n, f_m^* \rangle
\nonumber \\
&=& \langle f_m^*, f_n \rangle
\nonumber \\
&=& F_{mn}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\left( \int f_n^* f_m \ dS \right)^*
&=& \int f_n f_m^* \ dS
\nonumber \\
&=& \int f_m^* f_n \ dS
\end{eqnarray}
このように$F_{mn} = F_{nm}^*$が成り立つので，
$[F]$
はエルミート行列（Hermitian matrix）である．
つまり，
$[F] = [F]^*_T$．さらに，
\begin{eqnarray}
H
&=& \VECi{\alpha}^*_T [F] \VECi{\alpha}
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}^*_T [F]^*_T \VECi{\alpha}
\nonumber \\
&=& \sum_{m,n=0}^N \alpha_m^* F_{nm}^* \alpha_n
\nonumber \\
&=& \sum_{n,m=0}^N \alpha_n^* F_{mn}^* \alpha_m
\nonumber \\
&=& \sum_{m,n=0}^N \alpha_m F_{mn}^* \alpha_n^*
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}_T [F]^* \VECi{\alpha}^*
\nonumber \\
&=& \Big( \VECi{\alpha}^*_T [F] \VECi{\alpha} \Big)^*
\nonumber \\
&=& H^*
\end{eqnarray}
となり，
$H = H^*$
が成り立つので，
$H$
は，エルミート形式（Hermitian form）である．したがって，
$H$
は全ての
$[\alpha]$
に対して実数である．