チェビシェフ多項式
チェビシェフ多項式$T_n (x)$は，
\begin{gather}
T_n (x) = \left\{
\begin {array}{ll}
(-1)^n \cosh \big( n \cosh ^{-1} |x| \big) & (x < -1)\\
\cos \big( n \cos^{-1} x \big) & (|x| \le 1)\\
\cosh \big( n \cosh ^{-1} x \big) & (x > 1)
\end{array} \right.
\end{gather}
オイラーの公式より，
\begin{align}
e^{jnu} &= \cos (nu) + j \sin (nu)
\nonumber \\
&= \left( e^{ju} \right) ^n
= \big( \cos u + j \sin u \big) ^n
= \cos ^n u - \cdots
\end{align}
実部をとると，
\begin{align}
&\Re (e^{jnu} ) = \cos (nu)
\nonumber \\
&= \Re \left( e^{ju} \right) ^n
= \cos ^n u - \frac{n(n-1)}{2!} \cos ^{n-2} u \cdot \sin ^2 u
\nonumber \\
&\hspace{25mm}+ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \cos ^{n-4} u \cdot \sin ^4 u - \cdots
\end{align}
さらに，上式に$\sin ^2 u = 1 -\cos ^2 u$を代入すれば，
$\cos (nu)$を$x=\cos u$の$n$乗の項によって展開して表せる．
これより，$x=\cos u$とおくと，$n=0,1,2,3,4$のとき，
$|x| \le 1$においてチェビシェフ多項式
\begin{gather}
T_n (x)= \cos (nu) = \cos (n \cos ^{-1} x)
\end{gather}
は次のようになる．
\begin{align}
\cos (0u) &= 1 = T_0 (x)\\
\cos (1u) &= \cos u = x = T_1 (x)\\
\cos (2u) &= 2\cos ^2 u-1 = 2x^2-1 = T_2 (x)\\
\cos (3u) &= 4\cos ^3 u- 3\cos u = 4x^3 -3x = T_3 (x)\\
\cos (4u) &= 8\cos ^4 u- 8\cos^2 u+1 = 8x^4 -8x^2+1 = T_4 (x)%\\
%\cos (5\bar{u}) = 16\cos ^5\bar{u}- 20\cos^3 \bar{u}+5\cos \bar{u}
%= 16x^5 -20x^3+5x = T_5 (x)
\end{align}
さらに次数の高いチェビシェフ多項式$T_n (x)$は結果のみ示すと，
\begin{align}
T_5(x) &= 16x^5-20x^3+5x\\
T_6(x) &= 32x^6 -48x^4 +18x^2-1\\
T_7(x) &= 64x^7 -112x^5 +56x^3-7x\
\end{align}
