第1種と第2種ベッセル関数の不定積分公式

第1種と第2種ベッセル関数の不定積分公式

　

A

，

B

を定数として，

\begin{array}{rcl} (1) & u & = & A J_{ν} (α z) + B N_{ν} (α z) \\ (2) & u^{'} & = & \frac{d u}{d z} = α (A J_{ν}^{'} (α z) + B N_{ν}^{'} (α z)) \end{array}

とすると，

\begin{array}{rcl} \int z (A J_{ν} (α z) + B N_{ν} (α z))^{2} 2 d z \\ (3) & = & \frac{1}{2} {z^{2} (A J_{ν}^{'} (α z) + B N_{ν}^{'} (α z))^{2} + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) (A J_{ν} (α z) + B N_{ν} (α z))^{2}} \end{array}

上式に

J_{ν}

，

N_{ν}

各々の公式を用いると次式が得られる．

\begin{aligned} \int z J_{ν} (α z) N_{ν} (α z) d z \\ (4) & = \frac{1}{2} {z^{2} J_{ν}^{'} (α z) N_{ν}^{'} (α z) + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) J_{ν} (α z) N_{ν} (α z)} \end{aligned}

上の関係式は微分方程式から直接求めることもでき，次のようにすればよい．

\begin{matrix} (5) & z u_{1}^{″} + u_{1}^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u_{1} = 0 \\ (6) & z u_{2}^{″} + u_{2}^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u_{2} = 0 \end{matrix}

として

u_{1}

，

u_{2}

を考え，式

(5)

\times u_{2}^{'} +

式

(6)

\times u_{1}^{'}

より，

\begin{aligned} {z u_{1}^{″} + u_{1}^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u_{1}} u_{2}^{'} + {z u_{2}^{″} + u_{2}^{'} + (β^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u_{2}} u_{1}^{'} = 0 \\ 2 u_{1}^{'} u_{2}^{'} + z (u_{1}^{″} u_{2}^{'} + u_{1}^{'} u_{2}^{″}) + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z (u_{1} u_{2}^{'} + u_{1}^{'} u_{2}) = 0 \\ 2 z u_{1}^{'} u_{2}^{'} + z^{2} (u_{1}^{″} u_{2}^{'} + u_{1}^{'} u_{2}^{″}) + (α^{2} z^{2} - ν^{2}) (u_{1} u_{2}^{'} + u_{1}^{'} u_{2}) = 0 \end{aligned}

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d z} (z^{2} u_{1}^{'} u_{2}^{'}) + (α^{2} z^{2} - ν^{2}) \frac{d}{d z} (u_{1} u_{2}) = 0 \end{matrix}

さらに，

\begin{aligned} \frac{d}{d z} (z^{2} u_{1}^{'} u_{2}^{'} - ν^{2} u_{1} u_{2}) + α^{2} z^{2} \frac{d}{d z} (u_{1} u_{2}) = 0 \\ (8) & \frac{d}{d z} (z^{2} u_{1}^{'} u_{2}^{'} - ν^{2} u_{1} u_{2}) + α^{2} \frac{d}{d z} (z^{2} u_{1} u_{2}) = α^{2} \cdot 2 z u_{1} u_{2} \end{aligned}

両辺を

z

で不定積分して，

\begin{matrix} (9) & z^{2} u_{1}^{'} u_{2}^{'} - ν^{2} u_{1} u_{2} + α^{2} z^{2} u_{1} u_{2} = 2 α^{2} \int z u_{1} u_{2} d z \end{matrix}

よって，

α \neq 0

のとき次式となり，式

(4)

が得られる．

\begin{matrix} (10) & \int z u_{1} u_{2} d z = \frac{1}{2} {\frac{z^{2}}{α^{2}} u_{1}^{'} u_{2}^{'} + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) u_{1} u_{2}} \end{matrix}