ベッセル関数の不定積分公式

　ベッセル関数の満たす微分方程式は次式で与えられる．

\begin{matrix} (1) & z u^{″} + u^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u = 0 \\ (2) & z v^{″} + v^{'} + (β^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z v = 0 \end{matrix}

ただし，

u^{'}

，

v^{'}

は各々，

z

に関する1階微分，

u^{″}

，

v^{″}

は各々，

z

に関する2階微分を示す．いま，式

(1)

\times v -

式

(2)

\times u

を計算すると次のようになる．

\begin{aligned} {z u^{″} + u^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u} v - {z v^{″} + v^{'} + (β^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z v} u = 0 \\ z (u^{″} v - v^{″} u) + (u^{'} v - v^{'} u) = (β^{2} - α^{2}) z u v \\ (3) & \frac{d}{d z} {z (u^{'} v - v^{'} u)} = (β^{2} - α^{2}) z u v \end{aligned}

両辺を

z

で積分すると，

\begin{matrix} (4) & z (u^{'} v - v^{'} u) = (β^{2} - α^{2}) \int z u v d z \end{matrix}

α \neq β

のとき，

\begin{matrix} (5) & \int z u v d z = \frac{z (u v^{'} - u^{'} v)}{α^{2} - β^{2}} \end{matrix}

第1種ベッセル関数を考えれば，

u = J_{ν} (α z)

，

v = J_{ν} (β z)

として，

\begin{matrix} (6) & u^{'} = \frac{d u}{d z} = α J_{ν}^{'} (α z) \\ (7) & v^{'} = \frac{d v}{d z} = β J_{ν}^{'} (β z) \end{matrix}

ただし，

J_{ν}^{'} (α z)

，

J_{ν}^{'} (β z)

は，各々，

J_{ν} (α z)

，

J_{ν} (β z)

の

α z

，

β z

に関する微分を示す．これより，次の不定積分公式が得られる

^{†}

．

\begin{aligned} \int z J_{ν} (α z) J_{ν} (β z) d z \\ (8) & = \frac{z}{α^{2} - β^{2}} {β J_{ν} (α z) J_{ν}^{'} (β z) - α J_{ν}^{'} (α z) J_{ν} (β z)} (α \neq β) \end{aligned}

上式は，第1種ベッセル関数

J_{ν} (α z)

，

J_{ν} (β z)

だけでなく，

第2種ベッセル関数 $Y_{ν} (α z)$ ， $Y_{ν} (β z)$ ，あるいはノイマン関数 $N_{ν} (α z)$ ， $N_{ν} (β z)$
第1種ハンケル関数 $H_{ν}^{(1)} (α z)$ ， $H_{ν}^{(1)} (β z)$
第2種ハンケル関数 $H_{ν}^{(2)} (α z)$ ， $H_{ν}^{(2)} (β z)$

においても成り立ち，もちろん，次のように混在しても成り立つ．

\begin{aligned} \int z J_{ν} (α z) N_{ν} (β z) d z \\ (9) & = \frac{z}{α^{2} - β^{2}} {β J_{ν} (α z) N_{ν}^{'} (β z) - α J_{ν}^{'} (α z) N_{ν} (β z)} (α \neq β) \end{aligned}

また，

α = β

のときは，式

(1)

\times 2 z u^{'}

を計算すると次のようになる．

\begin{aligned} {z u^{″} + u^{'} + (α^{2} - \frac{ν^{2}}{z^{2}}) z u} 2 z u^{'} = 0 \\ 2 z u^{'} (z u^{″} + u^{'}) + 2 (α^{2} z^{2} - ν^{2}) u u^{'} = 0 \\ 2 z u^{'} \frac{d}{d z} (z u^{'}) + 2 (α^{2} z^{2} - ν^{2}) u u^{'} = 0 \\ \frac{d}{d z} {(z u^{'})^{2}} + \frac{d}{d z} {(α^{2} z^{2} - ν^{2}) u^{2}} - 2 α^{2} z u^{2} = 0 \\ (10) & \frac{d}{d z} {(z u^{'})^{2} + (α^{2} z^{2} - ν^{2}) u^{2}} = 2 α^{2} z u^{2} \end{aligned}

両辺を

z

で積分して，

\begin{matrix} (z u^{'})^{2} + (α^{2} z^{2} - ν^{2}) u^{2} = 2 α^{2} \int z u^{2} d z \\ (11) & \int z u^{2} d z = \frac{1}{2} {\frac{z^{2}}{α^{2}} u^{' 2} + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) u^{2}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (12) & u = J_{ν} (α z), u^{'} = \frac{d u}{d z} = α J_{ν}^{'} (α z) \end{matrix}

のとき，次のよく知られた不定積分公式が得られる

^{†}

．

\begin{matrix} (13) & \int z J_{ν}^{2} (α z) d z = \frac{1}{2} {z^{2} J_{ν}^{' 2} (α z) + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) J_{ν}^{2} (α z)} \end{matrix}

同様にして，

\begin{matrix} (14) & \int z N_{ν}^{2} (α z) d z = \frac{1}{2} {z^{2} N_{ν}^{' 2} (α z) + (z^{2} - \frac{ν^{2}}{α^{2}}) N_{ν}^{2} (α z)} \end{matrix}

†

代表的な数学公式は，

森口繁一，宇田川銈久，一松信，“岩波数学公式 $II$ ”, 岩波書店 (1960).
Milton Abramowitz, and Irene A. Stegun, “Handbook of Mathematical Functions. With. Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,” Dover, New York (1965).