ベッセル関数の不定積分公式
\(\alpha \neq \beta \) のとき
ベッセル関数の満たす微分方程式は次式で与えられる．
\begin{gather}
zu''+u'+\left( \alpha ^2 - \frac{\nu ^2}{z^2} \right) zu = 0 \label{eq:a1} \\
zv''+v'+\left( \beta ^2 - \frac{\nu ^2}{z^2} \right) zv = 0 \label{eq:a2}
\end{gather}
ただし，\(u'\)，\(v'\) は各々，\(z\) に関する1階微分，\(u''\)，\(v''\) は各々，\(z\) に関する2階微分を示す．
いま，式\eqref{eq:a1}\(\times v-\)式\eqref{eq:a2}\(\times u\) を計算すると次のようになる．
\begin{align}
&\left\{ zu''+u'+ \left( \alpha ^2 - \frac{\nu ^2}{z^2} \right) zu \right\} v
- \left\{ zv''+v'+ \left( \beta ^2 - \frac{\nu ^2}{z^2} \right) zv \right\} u = 0
\nonumber \\
&z \left( u''v-v''u \right) + \left( u'v-v'u \right)
= \left( \beta ^2 - \alpha ^2 \right) zuv
\nonumber \\
&\frac{d}{dz} \left\{ z(u'v-v'u) \right\} = \left( \beta ^2 - \alpha ^2 \right) zuv
\end{align}
両辺を\(z\)で積分すると，
\begin{gather}
z ( u'v-v'u ) = \left( \beta ^2 - \alpha ^2 \right) \int zuv \ dz
\end{gather}
\(\alpha \neq \beta \)のとき，
\begin{gather}
\int zuv \ dz = \frac{z ( uv'-u'v ) }{\alpha^2- \beta^2}
\end{gather}
第1種ベッセル関数を考えれば，\(u= J_{\nu } (\alpha z)\)，\(v=J_{\nu } (\beta z)\)として，
\begin{gather}
u' = \frac{du}{dz} = \alpha J_{\nu }'(\alpha z)
\\
v' = \frac{dv}{dz} = \beta J_{\nu }'(\beta z)
\end{gather}
ただし，\(J_{\nu }'(\alpha z)\)，\(J_{\nu }'(\beta z)\) は，各々，\(J_{\nu } (\alpha z)\)，\(J_{\nu } (\beta z)\) の\(\alpha z\)，\(\beta z\) に関する微分を示す．
これより，次の不定積分公式が得られる$^\dagger$．
\begin{align}
&\int z J_{\nu }(\alpha z) J_{\nu }(\beta z) dz
\nonumber \\
&= \frac{z}{\alpha ^2 - \beta ^2}
\left\{ \beta J_{\nu }(\alpha z) J_{\nu }'(\beta z)
- \alpha J_{\nu }'(\alpha z) J_{\nu }(\beta z) \right\} \ \ \
(\alpha \neq \beta ) \label{eq:a3}
\end{align}
上式は，第1種ベッセル関数\(J_{\nu } (\alpha z)\)，\(J_{\nu } (\beta z)\) だけでなく，
第2種ベッセル関数\(Y_{\nu }(\alpha z)\)，\(Y_{\nu }(\beta z)\)，あるいはノイマン関数 \(N_{\nu }(\alpha z)\)，\(N_{\nu }(\beta z)\)
第1種ハンケル関数\(H_{\nu }^{(1)}(\alpha z)\)，\(H_{\nu }^{(1)}(\beta z)\)
第2種ハンケル関数\(H_{\nu }^{(2)}(\alpha z)\)，\(H_{\nu }^{(2)}(\beta z)\)
においても成り立ち，もちろん，次のように混在しても成り立つ．
\begin{align}
&\int z J_{\nu }(\alpha z) N_{\nu }(\beta z) dz
\nonumber \\
&= \frac{z}{\alpha ^2 - \beta ^2}
\left\{ \beta J_{\nu }(\alpha z) N_{\nu }'(\beta z)
- \alpha J_{\nu }'(\alpha z) N_{\nu }(\beta z) \right\} \ \ \
(\alpha \neq \beta )
\end{align}
\(\alpha = \beta \) のとき
また，\(\alpha = \beta\) のときは，式\eqref{eq:a1}\(\times 2zu'\) を計算すると次のようになる．
\begin{align}
&\left\{ zu''+u'+ \left( \alpha ^2 - \frac{\nu ^2}{z^2} \right) zu \right\} 2zu' = 0
\nonumber \\
&2zu' \left( zu''+u' \right) +2 \left( \alpha ^2 z^2 - \nu ^2 \right) uu' = 0
\nonumber \\
&2zu' \frac{d}{dz}(zu')+2 \left( \alpha ^2 z^2 - \nu ^2 \right) uu' = 0
\nonumber \\
&\frac{d}{dz} \left\{ (zu')^2 \right\}
+ \frac{d}{dz} \left\{ \left( \alpha ^2 z^2 - \nu ^2 \right) u^2 \right\}
- 2\alpha ^2 zu^2 = 0
\nonumber \\
&\frac{d}{dz} \left\{ (zu')^2 + \left( \alpha ^2 z^2 - \nu ^2 \right) u^2 \right\}
= 2\alpha ^2 zu^2
\end{align}
両辺を\(z\) で積分して，
\begin{gather}
(zu')^2 + \left( \alpha ^2 z^2 - \nu ^2 \right) u^2
= 2\alpha ^2 \int zu^2 dz
\nonumber \\
\int zu^2 dz
= \frac{1}{2} \left\{ \frac{z^2}{\alpha^2} u^{\prime 2}
+ \left( z^2 - \frac{\nu ^2}{\alpha ^2} \right) u^2 \right\}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
u= J_{\nu } (\alpha z), \ \ \ \ \
u' = \frac{du}{dz} = \alpha J_{\nu }'(\alpha z)
\end{gather}
のとき，次のよく知られた不定積分公式が得られる\(^\dagger\)．
\begin{gather}
\int zJ_{\nu }^2 (\alpha z) dz
= \frac{1}{2} \left\{ z^2 J_{\nu }'^2 (\alpha z)
+ \left( z^2 - \frac{\nu ^2}{\alpha ^2} \right) J_{\nu }^2(\alpha z) \right\} \label{eq:a4}
\end{gather}
同様にして，
\begin{gather}
\int zN_{\nu }^2 (\alpha z) dz
= \frac{1}{2} \left\{ z^2 N_{\nu }'^2 (\alpha z)
+ \left( z^2 - \frac{\nu ^2}{\alpha ^2} \right) N_{\nu }^2(\alpha z) \right\} \label{eq:a4-N}
\end{gather}
\(\dagger\) 代表的な数学公式は，
森口繁一，宇田川銈久，一松信，“岩波 数学公式 \(\mathrm{II}\)”, 岩波書店 (1960).
Milton Abramowitz, and Irene A. Stegun, “Handbook of Mathematical Functions. With. Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,” Dover, New York (1965).