A-1 Laguerre 陪多項式

水素原子に対する Schrdinger 方程式の動径部分

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ここでNx(r) = rR(r) と置いて次の変数変換を行う。（N は規格化定数）
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次のような方程式になる
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r が無限大の時の漸近解
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発散しない方（+- のうち - の方）だけが物理的に意味がある。
無限大ではない一般の r について，次の仮定を置く
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そして， a, b0, b1, ...を求めることにする。さて
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これらの式を方程式に代入し， r2 をかけ， e- V~ -- -jrra でくくると次のようになる
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さらに
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を考慮して，最初の summation の下限を m = 1 に書き換え，あとの summation のうち m = 0 の項だけを独立に書く。
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第１項目から
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ところで， a < 0 の場合， x が r = 0 で発散することになるので， a > 0 でなければならないから
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Summation の部分から
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整理して
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これで 級数 L(r) が解った。ただし，この無限級数は発散するので，発散しないように nr 項目までの有限級数（多項式）になるようにする。
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すると， L(r) は nr 次の多項式になる。また
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n は主量子数という。

ところで，次の式で与えられる多項式を Laguerre の陪多項式という。

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上で求めた L(r) との関係は
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