A-11 Hermite 多項式

A-11.1 Hermite 方程式の解法

次のような微分方程式を Hermite の微分方程式という。

これを解くために， H(x) が次のような形に書けると仮定する。

H(x) の微分を級数で書いてみる

これを実際に方程式に代入する

2a₂	+6a₃x	+12a₄x²	+	+(m - 2)(m - 1)a_m+2x^m	+
	-2a₁x	-4a₂x²	+	-2ma_mx^m	-
+( - 1)a₀	+( - 1)a₁x	+( - 1)a₂x²	+	+( - 1)a_mx^m	-	= 0

全ての m にたいして x^m の係数がゼロでなければならないから， a_m は次の漸化式を満たす。

a₀ と a₁ が決まれば全ての係数がわかる。
さてここで， H(x) は無限級数ではなく m < n であるような n 次の多項式であるとする。理由は後で述べる。
そのためには

が次のような値をとらなければならない

n が偶数の時 a₀ = 1, a₁ = 0 と置けば m が奇数の時又は m > n + 2 の偶数の時 a_m = 0
n が奇数の時 a₀ = 0, a₁ = 2 と置けば m が偶数の時又は m > n + 2 の奇数の時 a_m = 0
このような多項式を Hermite 多項式という

指数関数の Taylor 展開を利用すると次の式が得られる。

Hermite 多項式を次の形にかく。

n が無限大の極限で次の等式が成り立つことを示せ。

A11-9
これは，この二つの関数が同程度に発散する事を意味している。
ただし一般にはは発散する
無限級数ではなく途中で切れるようにすると e^-x²/2 をかければ|x| --> で必ず波動関数がゼロになる

Hermite 多項式は次の式から計算することもできる。

Hermite 多項式には次のような性質がある。