A-10 Legendre 多項式

A-10.1 Legendre 方程式

次のような方程式を Legendre 方程式という。

初めに m = 0 の場合を考える（Legendre の微分方程式）

次のように，解が級数で与えられると仮定する。

P⁰(z) の微分を級数で書いてみる

これを実際に方程式に代入する

書き直せば

z が変化してもこの等式が常に成り立つためには， z の各次数 n について係数が常にゼロでなければならない。

従って，次の漸化式が導ける

ところで，この漸化式に従う無限級数は発散する。（z のとりうる範囲は-1 < z < 1 である。）
これは，波動関数の性質としては適当でない。そこで，次のように

を選ぶ

l を方位量子数という
さらに， l が偶数ならば a₀ = 1, a₁ = 0 として

l が奇数ならば a₀ = 0, a₁ = 1 として

このようにすれば， P_l⁰(z) は無限級数ではなく有限次数 l の多項式になり，発散は生じない。

この多項式 P_l⁰(z) は次の Rodrigues の公式から作ることもできる

次に m 0 の場合を考える
m = 0 の Legendre 方程式を|m|回微分する

整理すると

両辺に (1 - z²)^|m|/2 をかけてさらに整理する

この方程式は目的の方程式に他ならない
つまり， m

0 の場合，次の多項式が目的の方程式を満たす

P_l⁰(z) は l 次の多項式なので， l 階微分までが値を持つ