A-9 極 座 標

A-9.1 球 座 標

極座標は，ベクトルを大きさと基準軸からの角度で表現する座標系である。

まず，速度ベクトル r の大きさは r である。そして， z 軸と r とのなす角を とする。

ベクトル r の xy 面への投影を r_xy とすれば，その大きさ r_xy は

次に x 軸と r_xy のなす角を とする。

変数の範囲は

次に， r, , を x, y, z で表しておく。

これを用いて前節の計算を行う。すなわち

よって

この d については，次のような考え方もできる。
d は，位置を (dr, d ,d) 変化させてできる直方体の体積である。
dr の変化に対しては，辺の長さはそのまま dr である。
しかし， d の変化に対しては，辺の長さは rd となるはずである。ここで はラジアンを単位にしている。
また， d の変化に対しては，辺の長さは sind である。このような三辺を持つ直方体が d = dxdydz に対応しているはずである。
直方体の体積から式 (A-9.14) がでる。

さて，ベクトルの微分演算子は次のようになる。

演習問題

1. 三次元で球座標を用いて e^-r を全空間で積分せよ。
2. 三次元で球座標を用いたとき，デカルト座標における偏微分は次のようにかける。
   
   
   
   これを用いて式 (A-9.17) を証明せよ。

3. 三次元で円柱座標は次のように与えられる。
   

   1. 変数 r, , はどのような範囲の値をとるか。
   2. d はなにに等しいか。
   3. ベクトル微分演算子はどのようにかけるか。
   4. Laplacian ² はどのようにかけるか。