A-8 座標変換

A-8.1 直交曲線座標

(x,y,z)   (q₁,q₂,q₃) の座標変換を考える。 x, y, z 方向の単位ベクトルを i, j, k とする。例えば x は q₁, q₂, q₃ の関数として表すことが出来るから
あるいは   
方向を表す単位ベクトル a_i   (i = 1,2,3) は， q_i = const. の面に垂直で q_i の増加する方向にとる。
dx は次のようになる。（dy, dz も同様に書ける）

さて，微小距離 ds の 2 乗は

ただし，相互に垂直な曲面群で構成される座標系に話を限ると i≠j のとき h_ij = 0 である。これ以降 h_ii = h_i と書く ことにする。

よって体積要素 d は

J は Jacobian と呼ばれ，次のような行列式である

A-8.2 微分ベクトル演算子

スカラー関数 (x,y,z) がある時その勾配は次のベクトル関数 grad である。

ベクトル関数 V(x,y,z) の発散は次のスカラー関数 divV である。

ここで V = grad とすれば Laplacian の表式を得る。

ついでながらベクトル関数 V(x,y,z) の回転は次のベクトル関数 rotV である。

演習問題

1. デカルト座標で考える。
   1. ベクトル微分演算子はどのようにかけるか。
   2. Laplacian ² はどのようにかけるか。
2. デカルト座標 (x,y,z) を別の直交座標系 (q₁,q₂,q₃) に変換する。
   方向を表す単位ベクトル a_i   (i = 1,2,3) は， q_i = const. の面に垂直で q_i の増加する方向にとる。
   1. dx, dy, dz を dq_i で表せ。
   2. ds² = dx² + dy² + dz² を dq_i と h_i で表せ。ただし
      
      であり，直交座標系では i≠j のとき h_ij = 0 であるので h_ii = h_i と書く。
   3. dxdydz を dq_i と h_i で表せ。
   4. ベクトル微分演算子はどのようにかけるか。
   5. Laplacian ² はどのようにかけるか。