A-4 Taylor 展開

A-4.1 Taylor の定理

関数 f(x) が a < x < b を含むある区間で n- 1 回微分可能で， f(x) の n- 1 次導関数 f^(n-1)(x) が連続であるとする。
さらに f⁽ⁿ⁾(x) が a < x < b で n 回微分可能ならば

ここで

であり， a < c < b, 0 < < 1 であるような実数 c と とが存在する。この定理を Taylor の定理という。
a = 0 である時，特に Maclaurin の定理という。

A-4.2 Taylor 展開

Taylor の定理はつまり，関数 f(x) が x = a の付近（ab）で次のように「展開」出来るといっている。

このような展開を Taylor 展開という。 a = 0 である時，特に Maclaurin 展開という。

|b - a|が充分小さいとき，近似関数として Taylor 展開の最初の数項を使うことが出来る。

以下に頻繁に使用される関数の Maclaurin 展開を示す。