A-3 Gauss 関数の積分

A-3.1 xe^-ax2 の積分

この積分は，次の置換を用いることによって簡単に計算できる。

これを式 (A-3.1) に代入すれば

積分範囲が (- , ) であるときは，被積分関数が奇関数なので，積分はゼロになる。

A-3.2 e^-ax2 の積分

この積分は少々テクニックがいる。まず，この積分の二乗を考える。

これは xy 平面上の二重積分である。次のような平面極座標に変数変換する。

すると

積分するときには次の注意が必要である。

これは，図のように微小面積を求めればわかる。

式 (A-3.9), (A-3.10) を式 (A-3.6) に代入する。第一象限が積分範囲であることに注意すると

この積分は既に前節で行った。式 (A-3.4) より

結局目的の積分は

積分範囲が (- , ) であるときは，被積分関数が偶関数なので，積分は I₀ の 2 倍になる。

A-3.3 xⁿe^-ax2 の積分

次のように置くことにする。

これを部分積分してみる。

つまり，式 (A-3.14) の形の積分は部分積分を繰り返すことによって，
n が偶数の場合には式 (A-3.5) の積分に， n が 奇数の場合には式 (A-3.1) の積分に帰着する。

積分範囲が (- , ) であるとき， n が偶数の場合は被積分関数が偶関数なので積分は I_n の 2 倍， n が奇数の場合は被積分関数が奇関数なので積分はゼロになる。