3: 一次元の箱の中の粒子

以下の章で Schrdinger 方程式を具体的な問題に適用する。最初に取り扱うのは一次元の箱の中の粒子である。
箱といっても一次元なので実際にはチューブの中の運動のようなものである。
数学が簡単なのでこの問題を最初に解説するのだが，物理化学的に無意味なモデルでは決してない。
たとえば分子中の電子の運動のモデルであり，三次元に拡張すれば理想気体のモデルになる。
これらの応用は次節以降で述べるが，ここでは Schrdinger 方程式の解法と解の性質について理解を深める。

3.1 古典論

質量 m の粒子が次のポテンシャルの中を運動する

力は F = - なので， 0 < x < a の範囲では F = 0 で，粒子は等速運動する。
|x| = a の位置で粒子の受ける力 は無限大となるが，ここでは粒子と壁とが完全弾性衝突するとみなす。（エネルギーが保存するような系）。
粒子のエネ ルギーを E として

エネルギー E は任意の値をとることができる。速度は位置によらない。

3.2 Schrdinger 方程式

x < 0 及び x > a では V (x) = なので方程式を満たす解は (x) = 0 である。 0 < x < a の範囲では V (x) = 0 な ので

V (x) = と V (x) = 0 の領域の境界で次の条件が課せられる。

方程式の一般解は次のように書ける。

A, B は境界条件から決定する。まず (0) = 0 から

次に (a) = 0 から

あわせると

A は，境界条件のみからでは決まらない。ただし，波動関数が量子的な粒子の状態を表現しているとすれば， A = 0 は物理的に意味がない。
なぜなら，その場合 (x) = 0，つまり至る所で波動がないことになる。
これは，粒子がどこにも存在しないことを意味している。物理的に意味がある解は， A0 でかつ B = 0 であり，次の条件を満たす場合である。

これは次のことを意味する

n = 0 は， B = 0 が無意味であるのと同じ理由で物理的に意味がない。（古典的な定常波の波動関数の場合との違いに注意。）

エネルギーは次のように与えられる。

一次独立な波動関数が独立な状態（準位）を表現すると考える。波動関数が一次従属であるような状態は独立ではない。 sin(-x) = -sin(x) だから， n < 0 の波動関数は単に n > 0 の波動関数に-1 を掛けたものである。よって，波動関数 が一次従属であり， n < 0 の状態と n > 0 の状態とは独立ではない。この場合は，全く同じ状態である。普通， A が になるように波動関数を書く。

3.3 波動関数の直交性

一般に，同じ Hamiltonian から導かれた一次独立な波動関数は直交している。（この直交は，なす角が 90^o であるという意味ではない。）

<_n(x)|はブラ，|_m(x)>はケットという。あわせてブラケットで，カッコの意味である。ブラとケットを組み合わせるのは， x の全範囲で積分することを表す。
多次元の波動関数の場合は全空間で積分の意味になる。（ホントはベクト ルの内積として意味づけられる）

n = m の場合には，次の規格化条件が課せられる。この意味については，次節で述べる。

この条件から Aの値が決まる。 Aを規格化定数という。

一般に，同じ Hamiltonian から導かれた一次独立な波動関数の組 _n は完全系をなす。つまり，任意の関数 (x) が_n(x) で次のようにかける。

3.4 別解

の一般解は次のようにも書ける。

この一般解は先のものと違うように見える。しかし Eulerの公式

を思い出し，任意定数を複素数とすれば，先の一般解で表せる関数は全て今の一般解でも表せることが解る。境界条件は， (0) = 0 から

また， (a) = 0 から

第一の条件から D = -C である。従って波動関数は

であり，二番目の境界条件は

となる。これは， A = 2iC とすれば先の場合と等しい。結局，境界条件を満たす解は，一般解の書き方に関わらず同じになる。

演習問題

1. 次のようなポテンシャル中に於ける質量 m の粒子の一次元運動について考える。

   1. Schrdinger 方程式を書け。
   2. 規格化された波動関数とエネルギー準位とを求めよ。ただし，境界条件は (a/2) = (-a/2) = 0 で与えられるとする。
2. 次の 4 つの関数を- < x < の範囲で考える。
   

   1. どの組み合わせが直交しているか。
   2. 他の 3 つの関数の一次結合で表されるものを表せ。
3. 次のようなポテンシャル中に於ける質量 m の粒子の一次元運動について考える。

   1. 波動関数は x = 0 について対称又は反対称であることを示せ。
      
   2. ハミルトニアンが x を-x と置き換えるような操作について対称であることを示せ。
      
   3. (2) の結果から Schrdinger 方程式が次のように書けることを示せ。
      
   4. 縮退のない場合 c を定数として次の関係が成り立たなくてはならない。
      
      (3) の結果から (1) の結果が導かれることを示せ。
4. 幅が 0.2 nm の一次元の箱の中に閉じこめられた電子の基底状態エネルギーを数値計算せよ。
5. 次のようなポテンシャル中に於ける質量 m の粒子の一次元運動について考える。

   1. 粒子の運動量の絶対値の期待値を求めよ。
   2. 前問の結果が de Broglie 波の関係を満たすためには，物質波の波長はどう表されなければならないか。
6. 静止質量 m₀，光速 c であるとき， m₀c² を静止質量エネルギーという。
   粒子を長さ L の一次元の箱に閉じこめたとき，基底状態エネルギーが静止質量エネルギーと等しくなる長さを求めよ。
7. 粒子を箱に閉じこめるには力が必要である。
   1. dE = -FdL として，力 F と箱の長さ L，粒子の質量 m，量子数 n の関係を導け ( E はエネルギー )。の関係を導け。
   2. 電子が基底状態にあるとして， F = 1 N になる長さを求めよ。
8. 1 kg の粒子が長さ 1 m の箱の中で，運動エネルギー 1 J で運動している。
   1. 量子数を見積もれ。
   2. 量子数が 1 変化したときのエネルギーの変化量を見積もれ。
   3. 量子的な効果は事実上観測可能か。