Verlet法の計算手順

Verlet 法の計算手順


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一次元調和振動子を例にとって,
Verlet 法の計算を順を追って確認していこう。

問題の設定として, 質量 m の粒子があり, 次のポテンシャル中を運動している。



力は次のように計算できる。

ちなみに,エネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和として, 次のように書ける。



そして, 時刻 t=0xv の初期値が与えられているとする。




次に Verlet 法で用いる計算式について確認しておく。
通常のステップで位置を求める式。



通常のステップで速度を求める式。



最初のステップで位置を求める式



もう一つ,必ず必要な式として, 位置から力を求める式。



当然ながら,力の式は,問題設定によって異なる。
時間を進めていく上で必要な式は以上である。


ただし,通常,エネルギーの計算も行うので, 運動エネルギーには次の式を用いる。



ポテンシャルエネルギーは次の式である。



当然ながら,ポテンシャルエネルギーの式は,問題設定によって異なる。
最後は全エネルギーは次の式である。


以下の図は,M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids (Oxford University Press, 1987) のパクリです。


まずは,初期状態で, x_0v_0 がわかっている。


次に, x_0 から F_0 を求める。
図にはないが,ここで K_0V_0E_0 も計算できる。


次に, x_0v_0F_0 から x_1 を求める。
この計算はこのステップだけの特別な計算である。


次に, x_1 から F_1 を求める。
図にはないが,ここで V_1 も計算できる。
これ以降は,通常の繰り返し計算になる。


次に, x_0x_1F_0 から x_2 を求める。


次に, x_0x_2 から v1 を求める。
図にはないが,ここで K_1E_1 も計算できる。


次に, x_2 から F_1 を求める。
図にはないが,ここで V_1 も計算できる。


次に, x_1x_2F_1 から x_3 を求める。
ここで,通常の繰り返し計算が一巡する。


次に, x_1x_3 から v2 を求める。
図にはないが,ここで K_2E_2 も計算できる。
あとは繰り返しである。


計算の信頼度を確かめるには,誤差の評価が重要である。
エネルギーの平均誤差 σ_E は次のように定義する。



h を変化させて, それぞれの平均誤差がどのように変化するかを確認する。


ここで,テキストにしたがって Excel のワークシートを 作成してください。

困ったときだけ


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